Ваш вопрос труден, потому что приложение — вообще довольно загадочная вещь. Его трактовка как разновидности определений с теоретической точки зрения не выдерживает критики.

Однозначно можно сказать, что приложение является отдельным членом предложения, когда оно обособлено. В этом случае у приложения особая функция, отличная от функции «определяемого слова». Очень часто дополнительная функция обособленного приложения — выражение причинных отношений (Красавица и умница, Маша всегда привлекала всеобщее внимание).

Что же касается необособленных приложений (которым и посвящен вопрос), то отталкиваться нужно от того, что ключ не в неделимости сочетания, а в однофункциональности приложения и определяемого слова. Мы приехали в город: в город является обстоятельством. Мы приехали в Петербург: в Петербург является обстоятельством. Оба слова прекрасно справляются с функцией обстоятельства. Следовательно, в предложении Мы приехали в город Петербург мы имеем обстоятельство, выраженное словосочетанием с приложением. Это один член предложения. При этом никто не мешает нам указать на то, что один из компонентов распространенного обстоятельства (или другого члена предложения) представляет собой приложение по отношению к другому.

При письменном разборе мы подчеркиваем интересующее нас словосочетание как один член предложения, но надписываем над приложением «приложение» и графически показываем его зависимость от «определяемого слова». При выполнении тестов ОГЭ или ЕГЭ прежде всего анализируем постановку вопроса: предполагается или не предполагается этой постановкой особое выделение приложений.

Примечание: ответ дан с позиций университетского преподавателя. Именно этим объясняется, в частности, то, что словосочетание определяемое слово взято в кавычки: это ирония, так как очень часто невозможно решить, что является определяемым, а что — приложением (это относится и к примерам про Машу и Елену).

Возможно, специалисты по подготовке к ОГЭ/ЕГЭ, методисты и т. д. ответили бы на этот вопрос иначе. Целесообразно проконсультироваться у них.

Это название склоняется как нарицательное существительное жаворонки (за исключением формы винительного падежа).

Это по-русски, но неграмотно. Можно возложить ответственность за сохранность, но не обязанность.

Да, ответ на вопрос № 246491 был неполным. Ответ уточнен. Спасибо за замечание!

Предложение содержит ошибку. Корректно: Он любит фехтование, но уже не занимается им.

Возможны оба варианта, но предпочтительно ставить ударение на первый слог: за́лит.

Вы правы, там должна быть запятая. Код диктанта исправлен. Спасибо за замечание!

Имеется в виду существительное отгул (отпуск за сверхурочную работу)? Множественное число: отгулы.

Правильно: получил признание. Значение слова признательность – 'чувство благодарности за услугу, внимание, помощь'.

Можно написать: читайте в июньском номере или читайте в номере за июнь.