Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Литературная норма: ску[шн]ый. См. также ответ на вопрос № 280260.
Предлог относительно сочетается с существительным в род. падеже. См. словарную фиксацию.
Запятая после слова тренировками нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
По правилам верно: филиал в г. Южно-Сахалинске. Подробнее см. в "Письмовнике".
Верно: На должность заведующего терапевтическим отделением... Подробнее см. в вопросе 243193.
Запятая после Омской области нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Слова с первой частью онлайн пишутся через дефис (см. словари): онлайн-школа.
Верно: со входящими. См.: dnu">http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=kodnu
Предпочтительно: не содержит имени, названия.