Нет сомнений, что имена собственные Брейвик, Мавроди, употребляясь в переносном значении, сохраняют прописную букву (они всё же отличаются от ставших нарицательными донжуан, робинзон, меценат  и др.). Для написания с прописной прилагательных оснований нет. А вот кавычки на месте: они указывают и на условность, и на целостность именования. Поэтому корректно: «московский Брейвик», «белгородский Брейвик», «тамбовский Мавроди».

Слово чинить 'исправлять, делать годным для дальнейшего употребления, действия' вовсе не просторечное и даже не разговорное, оно стилистически нейтральное и общеупотребительное – как и ремонтировать. Одинаково правильно, например, чинить часы и ремонтировать часы, чинить стол и ремонтировать стол, чинить одежду и ремонтировать одежду. Но эти слова не всегда взаимозаменяемы – так, квартиру можно ремонтировать, но не чинить.

Ни в одном справочнике нам не удалось найти оснований для того, чтобы не ставить запятую.

В справочнике Розенталя указано, что усилительные частицы не отделяются запятой от вводных слов. Но так в данном случае не усилительная частица. Здесь она имеет значение 'следовательно, значит, стало быть'. Кроме того, вводное слово в Вашем примере легко переставить или изъять.

Бить  баклуши (неодобр.) - бездельничать, заниматься пустяковым делом, праздно шататься. Наиболее распространенной версией происхождения этого фразеологизма считается следующая. Выражение связывается с кустарным прмыслом по изготовлению деревянных ложек, чашек и другой посуды. Отколотые от полена чурки, заготовки для такой посуды, назывались в говорах баклушами. Их изготовление считалось в народе легким, не требующим усилий и умения делом.

В Орфографическом словаре на нашем портале отмечено лишь слово хедер (толкования в некоторых словарях такие: "еврейская начальная школа для обучения мальчиков основам иудаизма" и "от англ. header, жатвенный рабочий орган зерноуборочного комбайна"). Что касается названных Вами слов, то они пока что не получили словарной фиксации, поэтому написание неустоявшееся. Предпочтительно написание через Е: хедер, бекап.

В подобных случаях рекомендуется (при условии, что для этого есть технические возможности) использовать кавычки разного рисунка: ООО «ПКФ "Линта"», Акционерное общество «Судоремонтный завод "Красные Баррикады"». Если же такой технической возможности нет, то закрывающие кавычки ставятся только один раз. Кавычки одного рисунка рядом не повторяются. Допустимый вариант: ООО "ПКФ "Линта", Акционерное общество "Судоремонтный завод "Красные Баррикады".

Верная пунктуация: С учетом доработок передача данных между системами будет возможна не раньше июля. Мы все в ожидании, будут выходные в мае или нет. Единственное, мне не хватает данных по поставкам для корректного отображения данных. Нам надо понять, как присланный баланс бьется с данными из системы. Мы можем подскакать, как определить остатки по видам транспорта.

Эту ошибку относят к орфографическим, так как проблема выбора написания традиционно включается в орфографию. Соответствующие правила можно найти и в своде 1956 года, и в справочниках Д. Э. Розенталя, и в полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина, и в справочнике для школьников «Русский язык» М. Т. Баранова, Т. А. Костяевой, А. В. Прудниковой.

Названия, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, при употреблении без родового слова можно склонять (живу в Достоеве) и не склонять (живу в Достоево). Но склоняемый и несклоняемый варианты не равноправны. Первый соответствует строгой литературной норме и рекомендуется, например, для речи дикторов. Второй носит характер допустимого (т. е. не ошибка, но и не образцовое употребление).