В этом случае запятая не нужна.
Сложные существительные, включающие компонент пол-, имеют особенности в склонении, сочетаемости и родовой отнесенности. В форме именительного и винительного падежа они сочетаются с определением в форме множественного числа: пустые полчемодана. При отсутствии определения при подлежащем, выраженном существительным с компонентом пол-, глагольное сказуемое ставится в форму единственного числа и (в прошедшем времени) форму среднего рода: промокнет/промокло полчемодана. В формах косвенных падежей возможны формы с пол- и с полу-, при этом определение имеет форму того рода, которым характеризуется существительное, выступающее вторым компонентом в сложном слове: моего полчемодана и моего получемодана, моему полчемодану и моему получемодану и т. п. Подробнее см. в академической «Русской грамматике» 1980 года (Т. 1. § 1191–1193).
В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова слово заключительный определяется как произведенное от основы инфинитива заключи- (этот инфинитив — вершина гнезда) при помощи суффикса -тельн- (М., 1985. Т. 1. С. 356). Что касается корня, то его выделение будет зависеть от того, какой принцип положен в основу морфемного анализа. Если опираться на тот же словарь Тихонова, где последовательно реализуется идея производности морфемного членения от словообразовательных отношений, то корень — заключ-. Если следовать принципу независимости морфемного членения от словообразовательных отношений, воплощенному, например, в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Ф. Ефремовой, то в качестве корня выделяется сегмент -ключ- (М., 1986. С. 153).
1. Для определенного ответа на вопрос нужен контекст. 2. Оба варианта корректны.
Если константа С ранее не упоминалась в тексте, то необходимо сделать акцент вначале на существовании константы С, а затем на ее характеристиках, а значит, запятая нужна: ...для функции f существует константа C, [причем] такая, что выполняется соотношение... Если константа С ранее в тексте упоминалась, только ее характеристики были другими, то запятая не нужна: ...для функции f существует константа C такая, что выполняется соотношение...
После сочетания увековечение памяти употребляется беспредложный родительный падеж: по увековечению памяти первого в городе Героя Социалистического Труда.
В позиции сказуемого значение полной и краткой формы прилагательных обычно совпадает, но у некоторых прилагательных между ними возможны следующие смысловые различия:
1) краткая форма обозначает чрезмерное проявление признака с негативной оценкой, ср.: юбка короткая — юбка коротка;
2) краткая форма обозначает временный признак, полная — постоянный, ср.: ребенок болен (сейчас) — ребенок больной (у него в принципе не всё в порядке со здоровьем).
В случае с пьян / пьяный краткое прилагательное тоже может выражать негативную оценку: ты пьян звучит резче, чем ты пьяный.
В этом случае каждая часть имеет собственный детерминант (сначала, затем, в последнюю очередь), а потому предпочтительна трактовка предложения как сложного.
Оба варианта верны. У автора есть возможность распорядиться определением так, как ему это представляется необходимым. В одном случае речь идет о привлекающих людей чудесах света, а во втором случае имеется в виду только одно из чудес света, привлекающее людей из разных стран.
В словаре В. И. Даля читаем: «Ряза́нь ж. мелкіе яблочки, дичковые, на квасъ; || мороженые яблоки, привозимые по зимнему пути. || Сиб. сибирскіе, китайскіе, райскіе яблочки».
