Правильно: двумя сутками, о трех воротах. В косвенных падежах приняты сочетания существительных, имеющих форму только мн. ч., с количественными числительными.
Предпочтительный вариант: назначили Слизеня.
Обособление не требуется.
Склонять нужно только мужскую фамилию Мешкой. Рекомендации см. здесь: Особенности склонения фамилий и личных имен.
Пунктуация в слогане верна. Одно замечание: если слоган планируется заключать в кавычки, то точку в предложении нужно ставить после закрывающих кавычек.
Возможно:
1. К слову, о питании.
2. Инна хорошо шила. Так вот, с её помощью мы раскраивали шторы.
3. Молодцы связисты!
Да, при вежливом обращении к одному лицу местоимение Вы пишется с большой буквы.
Это слово вынуть.
При глаголе с отрицанием в приведенном случае используется обычно родительный падеж.
Употребление корректно.
