Сначала об орфографии. В современном русском языке правильным является написание через О: Кощей, Кощей Бессмертный и (о тощем старике, скряге) кощей. Но раньше правильным было написание Кащей. Сейчас этот вариант в словарях дается как устаревший.
Теперь о происхождении этого слова. Слово Кощей имеет два варианта этимологии: 1) от слова кость ('худой, тощий человек, ходячий скелет'); 2) от костить в значении 'бранить'. Поэтому согласно этимологии надо писать через О.
Нормативное управление глагола размышлять: о ком-чем. Однако в живой речи нередко встречаются конструкции размышлять над чем: Иногда он даже размышляет над этим вопросом, но он уже отвык размышлять над вопросом другим: кого он воспитывает? [А. С. Макаренко. Книга для родителей (1937)]; На протяжении всего пути до прокуратуры он размышлял над вопросом о двух выстрелах в лжемилиционера [Н. Н. Шпанов. Ученик чародея (1935-1950)]. На наш взгляд, такое употребление грешит разговорностью.
После глагола выявить запятая нужна, так как далее начинается придаточная изъяснительная часть, зависящая от этого глагола. Обратите внимание, что деепричастный оборот основываясь на функциональном строении мозга образует не предусмотренную автором связь со сказуемым может сказываться. Рекомендуется отредактировать предложение, например: Нейропсихологическая диагностика, которая основывается на функциональном строении мозга, помогает выявить, с какими высшими психическими функциями (внимание, восприятие, память, речь, мышление) у ребенка есть трудности, что может сказываться на учебном процессе.
В «Словаре русских народных говоров» зафиксированы несколько вариантов этого слова: ка́рбаз, карба́з, ка́рбас и карба́с. В «Словаре живого поморского языка в его бытовом и этнографическом применении», составленном И. М. Дуровым в 20-30-е годы ХХ века (опубликован в Петрозаводске в 2011 году), находим только ка́рбас. Интересную помету оставил Иван Матвеевич Дуров, урожденный помор: «перестановка звуков в слогах — барка́с».
Нормативными словарями современного русского языка это слово пока не зафиксировано. Практика письма показывает, что грамматическая отнесенность этого существительного к одушевленным или неодушевленным также не устоялась. Например: Клиент выбирал модель и тип кузова, описывал форму или рисовал эскизы, его жена — цвет и материалы отделки плюс накапотную фигурку-маскот... (Коммерсант, 25.10.2010) и Как придумать персонажа (маскота), если ты совсем не художник и не дизайнер? (https://dzen.ru/a/ZCb3NhlQcgQhXAoO).
Форма родительного падежа мн. числа существительного мольба малоупотребительна. Некоторые словари пишут, что такой формы у этого слова нет. Тем не менее в художественных текстах изредка встречаются примеры использования формы мольб. Например: В удивлении я вытащил имеющиеся у меня десять долларов, которые моментально сграбастал ненасытный увеселитель, — и только после мольб моих и моих спутников он выдал мне 50 центов на обратный путь. В. В. Маяковский, Мое открытие Америки.
При обратном порядке слов при подлежащем — количественно-именном сочетании предпочтительна форма единственного числа сказуемого: С неба посыпалось пять-шесть мандаринов.
Заметим, что применительно к таким крупным (не сыпучим) объектам, как мандарины, глагол сыпаться (посыпаться) будет уместен, если мандаринов было много (сравним одно из значений этого глагола — «обрушиваться во множестве»), а пять-шесть — это едва ли много, поэтому лучше использовать другой глагол: С неба упало пять-шесть мандаринов.
Слитное или раздельное написание этого сочетания зависит от контекста и задач автора, подробнее см. «Написания с отрицанием не» в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина. Будьте осторожны с употреблением слова волнительно: оно не считается литературным и не подходит для официальных, книжных и прочих текстов в рамках литературной нормы. Лучше использовать другие слова с синонимичным значением (волнующе, тревожно и т. д.)
В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» указано, что с существительными и местоимениями 3-го лица правильно: скучать по кому-чему, например: скучать по сыну, скучать по нему. Но с личными местоимениями 1-го и 2-го лица мн. числа правильно: скучать по ком, например: скучали по нас, скучаем по вас.
А вот вариант скучать за кем-либо, о котором тоже довольно часто спрашивают, не является нормативным, выходит за рамки русского литературного языка.
