Правильно: вырастают. Слова в словарях приводятся в начальной форме, для глагола это инфинитив (неопределенная форма). Т. е. в качестве поискового слова в окошко «Проверка слова» надо вводить не вырастают, а вырастать.

Правильно писать так, как указано в академическом орфографическом словаре. Слово продакш(е)н пока не освоено языком настолько, чтобы вводить его в словарь. Однако заметим, что закономерно для русского языка написание промоушен, как и экшен, фикшен и др. Это связано с тем, что конечное шн не свойственно русскому языку. Заимствованные слова часто сначала произносятся в начальной форме с шн, но затем наращивают между согласными гласный. Этот процесс обычно начинается в формах косвенных падежей: промоушена, промоушеном.

В названиях иногда закрепляются слова в неправильных написаниях. Это может случиться из-за того, что при выборе названия просто не заглянули в словарь. Но причина может быть и в другом: в качестве названия используют какое-то новое, модное слово, которое еще осваивается языком, для которого норма еще не установлена. Через некоторое время лингвисты зафиксируют норму в словаре, но она может не совпасть с той формой, которая была выбрана для названия. А изменить официальное название часто оказывается практически невозможным.

Для постановки тире нет оснований.

Это правило приведено, например, в словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» (М., 2011).

Следует писать раздельно.

В словарях ударений слово скрипт пока не зафиксировано. Но в некоторых толковых и орфографических словарях отмечается, что ударение в формах этого существительного должно сохраняться на основе (скрИпта, скрИпту). По Зализняку это та же модель, что и у слова завод. Ей же соответствуют другие слова мужского рода, оканчивающиеся на пт, например: рескрипт, манускрипт.

Такие случаи есть, но в приведенном Вами примере ставится тире (между подлежащим и сказуемым).