Как правило, местоимение указывает на ближайшее существительное соответствующего рода и в соответствующей форме. В данном случае это слово фильм. Однако фраза построена стилистически небезупречно, ее необходимо перестроить.

Возможный вариант: Сумасшедший, основавший свою киностудию, снял на ней фильм, который, однако, так и не был выпущен.

Второе тире нужно, но лучше написать с запятыми: ...в то время как ее дистальная часть, кисть, является подвижной.

"Справка" не проверяет тексты.

Мужская фамилия Анушкевич склоняется, ее несклонение – грамматическая ошибка.

В словарях русского языка название этого растения не зафиксировано, в «Русском орфографическом словаре» Российской академии наук (М., 2012) закреплена только первая часть: саган, -а (растение). Чтобы ответить на Ваш вопрос, мы обратились за консультацией к проф. Иркутского государственного университета Л. И. Горбуновой, которая для нас собрала информацию об этом интересном слове.

Буряты считают, что это название бурятское, хотя есть версия, что оно могло попасть в бурятский язык из тибетского. Каковы бы ни были его корни, в русский оно вошло через бурятский.

Буквальный перевод названия – 'белое крыло'. Первая часть означает 'белый'. Такой же корень есть в широко распространенном и активно используемом в Бурятии слове Сагалган. Это национальный праздник Белого месяца. Третий звук в слове саган в бурятском языке звонкий фрикативный (как в форме Господи), по-русски он передается буквой г. Второй звук а – долгий, у бурят он обозначается удвоенной буквой а, но в русской орфографии эта долгота не отражается, пишется одинарная а.

Вторая часть названия означает 'крыло'. В русском языке ее передают как дайля или дали. Однако буряты утверждают, что в их языке нет звука й и ближе к их произношению второй вариант – дали, с ударением на втором слоге.

Бурятские слова подобной структуры в русском языке кодифицируются и в дефисном написании, и в слитном. Например, в словаре С. А. Гурулева «Географические названия Иркутской области. Топонимический словарь» (Иркутск, 2015) зафиксированы Шара-Жалга (левый приток реки Большой Задой; букв. 'желтый берег') и Харагун (название деревни; букв. 'черная глубина'). Но в практике письма чаще встречается дефисное написание.

В Бурятии в разговорной речи название обычно склоняют. Но в нейтральном и книжных стилях такое малоизвестное слово лучше по падежам не изменять. 

Фраза не вполне ясна. Возможно, ее следует перестроить, и слова в своем роде обособляться не будут: США оказались в своем роде заложниками ситуации.

Это обстоятельственные обороты. Обороты, присоединяемые предлогом несмотря на, обычно обособляются (за исключением тех случаев, когда оборот входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу).

Верно: Он был умен, несмотря на свой возраст. Несмотря на ее возраст, они смогли найти общий язык.

Указанная запятая не нужна.

Использование прописных букв в указанных контекстах не нужно.

См. словарную фиксацию: постъядерный и пост. Расхождение толкового словаря и орфографических руководств касаются только того, какой морфемой является часть пост-. В толковом словаре она определена как часть сложных слов, но также ее можно квалифицировать как приставку. В орфографии она считается именно приставкой (см. об этом, например, в справочниках Д. Э. Розенталя). На этом основании пост пишется по правилу слитно и требует после себя разделительного знака перед следующей частью, начинающейся с е, ё, ю, я.