Верно: Будучи в 1955–1963 годах старшим инспектором, он непосредственно занимался многими организационными вопросами, связанными с созданием музея.
Слова верный и правильный синонимичны в значении 'соответствующий истине, действительности, обстановке': верный ответ и правильный ответ, верное решение и правильное решение. Это значение у слова верный последовательно фиксируется словарями русского языка, и не только современными. Например, в словаре Ушакова дано одно из значений слова верный 'правильный, истинный, согласный с действительностью'. Словарь этот был издан в 1935–1940, т. е. задолго до 1970-х.
В таких неполных безглагольных предложениях, обычно выступающих в роли заголовка, тире ставится.
Устойчивое сочетание: многие годы.
Корректны оба варианта.
Постановка кавычек в этом случае уместна.
Тире ставить не следует.
Верно: с 1996 по 1999 год.
Да, именно так.
