Тире не переносится. Подробнее см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации», параграф 123.
Сложносокращенным называется сложное существительное, образованное без соединительной гласной, в котором усечение одной или обеих его частей осуществляется безотносительно к морфемному членению слова.
Сложносокращенное слово вуз (высшее учебное заведение) состоит из трех усеченных производящих основ: «Эти части являются сокращенными, усеченными символами целых слов и только так воспринимаются в современной языковой практике» (В. В. Лопатин, И. С. Улуханов «О некоторых принципах морфемного анализа слов (к определению понятия сложного слова в современном русском языке) // ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР (отделение литературы и языка), 1963, том XXII, вып. 3).
Эта трактовка структуры слова вуз отражена в «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова.
Верно: В третий, заключительный день назвали победителей.
Верно: участие в дне рождения школы. Сочетание день рождения склоняется по правилам склонения существительных русского языка, предлог в требует употребления формы предложного падежа.
Нужно использовать повторяющийся союз ни..., ни...: Матрас не высыхает ни за день, ни за два.
Ответ здесь.
Пунктуация верна. Есть грамматические недочеты.
Для постановки кавычек нет оснований.
Нет оснований писать диагноз с прописной.
