Корректно: Министерству образования и спорта представить предложения по обеспечению всех образовательных организаций, в том числе в сельской местности, спортзалами.

С такой практикой согласиться трудно, хотя логика в ней есть: вместо кавычек используется подсветка. Близкий случай — замена кавычек, оформляющих примеры в тексте о языковых явлениях, на выделение курсивом. А если в тексте встретятся названия с гиперссылкой и без нее? Первые будут в кавычках, а вторые без? А если рядом с названиями отелей-кафе окажутся названия магазинов, одни будут выделяться кавычками, а другие — иначе? Возможно, в каких-то случаях замена кавычек на другой способ выделения может быть удачным оформительским решением, но принять такую замену как орфографическое правило нельзя.

Хотя интересующие Вас глаголы и синонимичны в значениях "оказаться под воздействием, влиянием кого-, чего-л., в зависимости от кого-, чего-л." (подпасть) и "испытать воздействие, влияние каких-л. обстоятельств, обнаружить себя в каком-л. положении (обычно неблагоприятном, неприятном, опасном)" (попасть), возможность их употребления  ограничена лексической сочетаемостью. Корректно: попасть под дождь, подпасть под обаяние, подпасть под санкции. 

Поскольку в предложении всё же есть определяемое существительное лестница, прилагательное единственной и причастный оборот сохранившейся со времени постройки собора не теряют функцию определений. Однако запятая между ними не требуется, так как определение единственной относится не непосредственно к существительному лестницы, а к сочетанию причастного оборота и существительного, то есть к сочетанию сохранившейся со времени постройки собора [лестницы]. Случай в целом аналогичен примерам из пункта 7 параграфа 10.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: заячий наполовину потёртый воротник; большой собранный автором материал и т. п.

Да, это эллиптическое предложение. Следует заметить, однако, что в данном случае оно осложнено присоединительным оборотом, после которого естественна пауза, а потому корректный вариант постановки знаков препинания таков: Всех любителей и профессионалов, юных и не очень, — с наступающим!

Такие сочетания пишутся через дефис (как сочетания с приложением): врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то после слова врач употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог.