Возможный вариант: Если Вы настаиваете на рассмотрении Вашей жалобы, срочно пришлите в суд недостающие документы.
В каждом случае возможны оба варианта, но они немного различаются по смыслу. В конструкциях газеты сообщили, суд решил подчеркивается ответственность за сообщение и решение того, что названо подлежащим. В конструкциях в газете сообщили, в суде решили акцент смещается на действие, газета и суд оказываются лишь местом, где были выполнены действия.
Корректно: По орфографии сразу видно, что... Судя - лишнее.
Правильно: документы направлены в суд.
Если текст официально-деловой (например, юридический), то очевидно, что необходимо указать на разные инстанции, поэтому и правильно, и привольно написать так: суды первой и апелляционной инстанций. В дополнение рекомендуем принять во внимание грамматические и смысловые предпосылки подобного выбора, изложенные в ответах на тематические вопросы; см., в частности, ответ на вопрос № 314708.
Такого правила нет. Некоторые наименования, включающие слово суд, зафиксированы в академическом словаре:
суд, суда́
Верхо́вный су́д РФ
Вы́сший арбитра́жный су́д РФ
Европе́йский су́д по права́м челове́ка
Кассацио́нный су́д (высшая судебная инстанция в нек-рых странах)
Конституцио́нный су́д РФ
Линч, -а: су́д Ли́нча
Междунаро́дный су́д (в Гааге)
под су́д (отда́ть)
пока́ су́д да де́ло
Стра́сбургский су́д
Стра́шный су́д (библ.)
су́д да де́ло: пока́ су́д да де́ло
шемя́кин су́д, шемя́кина суда́
Верно: привлечь виновное лицо.