Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной: папа римский Иоанн Павел II, выборы папы римского.
Правильно: Вахтанговна. От имен, оканчивающихся на твердые согласные, кроме шипящих и Ц, отчества образуются посредством присоединения суффиксов -ович, -овна к полной форме имени (исключения – имена Лев, Михаил, Павел, Яков, Иев).
В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).
Управление «усилия по» вполне корректно. См., например: В подобных обстоятельствах совершенно естественно, что я предоставляю мои силы в Ваше полное распоряжение и своим рвением надеюсь внести хотя бы скромный вклад в Ваши большие усилия по обеспечению жизненных интересов России [В. Н. Ламсдорф. Дневник (1896)]; Для Нахимова и Тотлебена вывод отсюда был ясен: нужно еще удвоить усилия по обороне... [Е. В. Тарле. Павел Степанович Нахимов (1802-1855) (1943)]; ...вряд ли он захочет предпринимать дополнительные усилия по инсталляции туда моей скромной персоны. [Л. А. Данилкин. Черный букер (2016)].
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Винительный падеж. См. также ответ на вопрос № 284354.
Это наречие, оно не имеет категории падежа.
Также это может быть глагол домыть в повелительном наклонении, но глаголы тоже не изменяются по падежам.
