Правильно: официальная поддержка (чего?) мероприятия. Но: оказать поддержку (чему?) мероприятию.
Запятая не нужна. Поясняющее определение отделяется от поясняемого и не отделяется от определяемого слова: Любая, даже самая малая поддержка неоценима...
Нет, такая форма мн. ч. некорректна.
Если название недостаточно освоено русским языком, лучше его не склонять: в поселке Чаганыш. См. в «Письмовнике»: Как склонять географические названия?
Об этом можно прочитать в учебниках.
Склонять название Диксон в сочетании со словом поселок не нужно. Препятствует склонению названия не то, что оно не вполне освоено, а то, что образовано от личного имени. Ср.: в поселке Артем, от поселка Ерофей Павлович.
См. в «Письмовнике» материал «Как склонять географические названия?».
В первом случае лучше не склонять: в поселке Суар. Во втором случае название склоняется: в поселке Тарловке.