Правильно: кафедра... методики обучения (чему?) информатикЕ.
Причастия, прилагательные, глагольные формы прошедшего времени в таких случаях согласуются с именем (фамилией) человека, а не с приложением: Петрову, направленную на обучение...
Для ответа на этот вопрос нужно видеть предложение полностью.
Кавычки не требуются. Возможны варианты заголовка как с вопросительным знаком, так и без него.
Все эти варианты отличаются канцелярской окраской. Лучше всего сказать так: учителя учатся сажать деревья.
Корректно: в современной школе...
Контекст недостаточен для однозначного ответа. Сравним предположительно достроенное нами до полной структуры предложение: Власти решили определить школу органом, ответственным за обучение, родителей — пользователями услуги. Впрочем, возможно, в Вашем случае контекст иного рода и требует иной постановки знаков препинания.
