Правильно: день начался.
Запятая обязательна.
Современной орфографической норме соответствует написание этого титула строчными буквами.
В приведенном высказывании слово конечно выражает значение «обязательно», как в примере из параграфа 96 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Вы конечно же прочитаете эту книгу («обязательно», значение усиления). Если ориентироваться на этот пример, обособление слова конечно в данном случае не обязательно.
Правильно: Николя-Жак Конте.
Нет, правильно написание со строчной: день рождения.
Правильно: 1 марта — День кошек в России.
Слово шушлепень современными нормативными словарями не фиксируется. Оно известно как диалектное (вятское) из «Толкового словаря живого великорусского языка» В. И. Даля, но и в этом словаре ударение на слове не стоит. Возможно, слово будет описано в «Словаре русских народных говоров», который пока вышел до буквы ц.
Сложные прилагательные с первым компонентом числительным представлены в орфографическом словаре.
