Правильно: Победить трёх врагов. Существительное враг одушевленное. У одушевленных существительных форма винительного падежа совпадает с формой родительного. Числительное три согласуется с этой формой.
1. Такое сокращение правильно.
2. Орфографически корректно: врач – травматолог-ортопед.
Это не так. Врач может быть мужчиной, а доктор – женщиной.
Верно: зав. отделением врач – акушер-гинеколог.
Корректно со знаком тире: врач — стоматолог-терапевт, пародонтолог, детский стоматолог. Слово врач в зависимости от типа текста можно и опустить.
Запятая перед тире не требуется.
Если речь идет о враче, который специализируется и в дерматологии, и в косметологии, то Ваш вариант корректен. Но чтобы избежать недопонимания, лучше изменить формулировку, например так: врач – специалист по дерматологии и косметологии или врач – дерматолог-косметолог.
Дефис нужен.
Запятая перед союзом не требуется.
