Поскольку придаточная часть, благодаря союзу или включается в ряд однородных членов, запятая не требуется: Советуем поторопиться: регистрация на турнир закроется 1 декабря или как только наберем 64 команды.
Правила склонения числительных см. в Письмовнике.
Да, здесь действительно уточнение: поскольку наречие досрочно значит «ранее установленного срока», оно является обстоятельством времени, как и указание даты; второе обстоятельство конкретизирует первое.
После слова пребывания следует поставить тире или двоеточие. Выбор знака препинания зависит от контекста.
Обособление корректно.
Первое сочетание возможно в таком контексте: Не надо ждать летних месяцев, т. е. 'не надо ждать, когда наступит лето’. Сочетание не надо ждать месяцы имеет значение 'не надо ждать долго'.
