Депутаты должны действовать согласно мандату.
Запятые не нужны.
Здесь нет ничего необычного. В формах прошедшего времени в основе глагола используется та же гласная, что и в инфинитиве: кише-ть - кише-л. Гласная "И" в личных формах (кишит, кишим...) обусловлена спряжением (второе спряжение).
Последнее время мы уделяем ему большое внимание – корректное сочетание, так можно сказать. См. также ответ на вопрос № 270837.
Правильно: в то же время.
Верны оба варианта.
Такая конструкция носит разговорно-сниженный стилистический оттенок. Нейтральны и общеупотребительны привиеденные Вами варианты: через некоторое время, через какое-то время.
Здесь верно: начальник с подчиненными ушли вовремя. Ср.: начальник ушел с подчиненными.
Слово пока здесь не вполне подходит по смыслу. Лучше: Они точно знали, сколько горит свеча или Они точно знали, как долго горит свеча.