Корректно употребление строчных букв, так как это не первое слово официального наименования.
Существительное евро пишется строчными.
Правильно раздельное написание.
См. в "Справочнике по пунктуации".
Написание исторических названий государств и их объединений определяется традицией: для некоторых из них устойчивое написание закрепилось, для других – нет. Если не существует устойчивой традиции написания названия, о котором Вы спрашиваете (например, в научных работах), корректно писать княжество Польское, потому что родовые термины в исторических названиях государств пишутся преимущественно со строчной буквы.
Названия факультетов вузов пишутся строчными буквами.
Слово евро (и все остальные названия денежных единиц) следует писать со строчной буквы. Написание с прописной (большой) буквы ошибочно.
Запятая нужна.
