Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

– Вы, конечно, не пешком сюда добрались? – Кинув на гвоздь полотенце, Ирина Петровна задвинула ширму, обернулась и тоже посмотрела на Извекова.

Думаем, здесь кавычки будут уместны.

Слова "по праву" не требуют обособления.

Вы верно расставили знаки препинания. 

Если так действительно кто-то говорит (например, дошколята), то слова оформляются как прямая речь: Обедом кормят дошколят. «Очень вкусно», – говорят. Однако есть вводное слово говорят, с помощью которого автор преподносит информацию как существующее в каком-либо кругу мнение или как слухи. Если нужно выразить такой смысл, корректно оформление: Обедом кормят дошколят. Очень вкусно, говорят. 

Пошло-поехало — отдельная грамматическая основа. Знак перед союзом и (запятая или тире) нужен.

Верен второй вариант, поэтому знак нужен. Это может быть либо запятая, либо тире – знак, подчёркивающий значение результата, следствия.

Корректно: Например, ребенок хочет всеми командовать и, когда нужно переключиться на другую роль, не может этого сделать. Союз и соединяет однородные составные сказуемые хочет командовать и не может сделать. С двух сторон выделяется придаточная часть когда нужно переключиться на другую роль.

Существует ряд правил постановки знаков конца предложения внутри предложения. Так, в параграфе 5 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) указано, что прописные буквы заменяются строчными, если перед перечислением стоят знаки двоеточие или тире (впереди имеется обобщение); в других же случаях фрагменты начинаются с прописной буквы. В параграфе 8 этого же справочника особо рассматривается передача прерывистого или затрудненного характера речи; в этом случае части предложения, разделённые многоточием, начинаются со строчной буквы. 

Впрочем, Ваш пример отличается от иллюстративных примеров из указанных параграфов справочника: здесь содержится конструкция под названием именительный темы. При постановке многоточия после именительного темы прописные буквы в дальнейшем предложении используются по общему правилу: А злопыхатели в комментариях... Мы же понимаем, откуда они берутся.

Слово Минимущества, данное в словаре, является несклоняемым, как и другие сокращения со второй частью, совпадающей с формой родительного падежа, например: Минобороны, Минобразования. Слово Минимущество склоняется, так как вторая часть совпадает с формой именительного падажа, ср.: жилстроительство, Росимущество. По нашим наблюдениям, в письменных текстах употребляются оба слова.