Да, Ваша фамилия не склоняется. Мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной, не склоняются (независимо от происхождения фамилии и от того, на какой слог падает ударение в фамилии). См., например:  Калакуцкая Л. П. Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение. М., 1994.

Это задание (если оно сформулировано именно так) некорректно и невыполнимо. Можно привести одно однокоренное слово – берложный. Возможно, авторы задания ожидают увидеть в качестве ответа слова логово и пр., но берлога и логово в современном русском языке не являются однокоренными словами (да и родство их небесспорно).

Предлагаем такой вариант.

А Пётр опять спрашивает:

— Да куда везти-то?

А гномы в ответ:

— На поля, в леса, к ручьям, ближе к солнечным лучам!

Почесал Пётр в затылке.

— А велика ли будет плата?

— Может, головка мака сухого, а может, и просто доброе слово... — отвечают гномы.

Если именно употребляется в значении 'как раз', запятая не нужна: Именно про это я хочу рассказать. Если же именно употребляется в качестве утвердительного ответа (то же, что «да, вот именно»), запятая ставится: «Неужели про это вы хотите рассказать?» – «Именно, про это я хочу рассказать».

Да, в таких случаях следует применять правила оформления перечней:

Корректно: 

Выберите предложения, в которых нет ошибки:

— Я заслужен сожаления;

— Он говорит о Наполеоне, даже оправдывая и восхищаясь им;

— Вернувшись в имение, его ждали разочарования;

— Уезжая из Москвы, я обещал вернуться. 

Да, такое употребление вполне допустимо. См., например: Когда̀ в преддвѐрье вы̀соты̀ / всесѝльный дѐйствуѐт пропѐллер, / я ду̀маю̀ ― ты всѐ провѐрил, / мой ма̀ленькѝй? [Б. А. Ахмадулина. Маленькие самолеты : «Ах, мало мне другой заботы…» (1962)]/ 

Да, слово ковер объясняют как древнее заимствование из тюркских языков, а английское cover восходит через французское посредство к латинскому языку. Словарь Фасмера прямо указывает: «Древнерусские свидетельства исключают заимствование из англ. cover». Как бы ни было соблазнительно увидеть родство этих слов, его нет.

Да, кавычки нужны: в «Лужниках». Так называемые условные названия объектов, например спортивных сооружений, стадионов («Лужники», «Локомотив»), нужно заключать в кавычки в текстах, где они упоминаются. Это, в частности, позволяет разграничивать условные названия (стадиона) и реальные названия (деревня Лужники).

Да, эта конструкция обособляется, при этом слова а следовательно не отделяются от нее запятой (если вводное слово стоит в начале обособленного оборота, запятые ставятся перед вводным словом и после всего обособленного оборота; после вводного слова запятая не ставится): Главным потребителем продукции, а следовательно заказчиком, остается государство.