Нет, запятые в таких конструкциях не ставятся. Это пунктуационная ошибка.

Это вопрос достаточно сложный. Выражения типа наука финансовое право, наука лингвистика и т. п. представляют собой сочетание с приложением, в котором первое слово является по значению более широким и общим, а второе - более узким и конкретным. В справочных пособиях в разделах, посвященных употреблению кавычек, такие случаи вообще не рассматриваются (достаточно подробно описывается лишь употребление кавычек в сочетаниях с собственным наименованием: журнал «Огонек», кинотеатр «Юность»). В разделах, посвященных обособлению приложений, речь идет только о дефисном / раздельном их написании.
На наш взгляд, в словосочетаниях наука лингвистика, наука филология и т. п. кавычкам не место. Сложнее с сочетаниями, в которых приложениями являются неоднословные названия дисциплин, не являющихся наукой в привычном понимании этого слова. Безусловно, вариант наука управления персоналом лучше, но при употреблении в именительном падеже в ряде случаев кавычки могут быть уместны.

Это ошибка. Верно только: агентство (проверочное слово -- агент).

Дело в том, что в первом издании «Русского орфографического словаря» рекомендовалось дефисное написание объектно-ориентированный и раздельное проблемно ориентированный. В новом же издании словаря появилась иная словарная фиксация: оба слова следует писать раздельно: объектно ориентированный, проблемно ориентированный.

Написание мягкого знака при склонении прилагательных на -чий зависит от разряда прилагательного и типа склонения. Мягкий знак появляется при склонении только притяжательных прилагательных, у прочих прилагательных мягкий знак при склонении не пишется: жгучий - жгучего, гремучий - гремучего, шипучий - шипучего, колючий - колючего и т. п. Эти слова изменяются по мягкой разновидности адъективного склонения. А притяжательные прилагательные на -чий изменяются по особому - местоименому - типу склонения, поэтому во всех формах, кроме начальной (мужской род, ед. число, именительный падеж), в них пишется мягкий знак: собачий, собачья, собачье, собачьей, собачьих; волчий, волчья, волчье, волчьих, поросячий, поросячья, поросячье, поросячьих и т. п. Встреченное Вами написание - безусловно, ошибка, правильно было бы: Пояс из собачьей и овечьей шерсти.
Из приведенного правила есть исключение: притяжательное прилагательное отчий изменяется по мягкой разновидности адъективного склонения, т. е. мягкий знак в нем не пишется: у отчего дома.
Отметим, что у писателей XIX в. встречается образование форм косвенных падежей притяжательных прилагательных без j в конце основы: Ты не издохнешь от удара // Казачей сабли (Пушкин); Не для разбойничей потехи // Так рано съехались адехи // На двор Гасуба старика (Пушкин). По нормам современной орфографии следует писать: казачьей, разбойничьей.

Верно: приемочная комиссия. Произношение [тока, скока] не является литературным, это ошибка.

Слово мужского рода аватар с указанным Вами значением использоваться может.

Досадная ошибка. Исправлено.

Первое - ошибка, второе - верно. Цыпленок пишется через Ы.

Приведенные примеры неоднородны. Конечно, "мы с сыном служили в армии" - ошибка, если в действительности сын служил один. Но при этом употребление личных форм глагола в переносном значении - системное явление в грамматике языка. Примеры "зайдем на сайт" и "обрабатываю данные" в определенных контекстах вполне возможны. Подробно об этом явлении читайте в "Русской грамматике" (М., 1980).