Лучше писать слитно.
Можно.
В названиях организаций, учреждений с большой буквы пишется первое слово. Корректно: Международный институт психоанализа.
Вы правы, кавычки в этом случае нужны. А вот если бы большими буквами на афише было написано только название фестиваля, тогда кавычки можно было бы опустить (выделительную функцию взяли бы на себя прописные буквы).
Верно: В ФОКе состоятся соревнования.
Перед нами - краткое прилагательное, о чем свидетельствует написание с удвоенной Н в суффиксе слова. Поэтому слитное написание здесь также уместно.
Правильно в кавычках с прописной буквы: "Твиттер", "Википедия".
Запятая не требуется.
Правильно: хватать звезды с неба.
Русской письменной традиции соответствует употребление в печатных текстах «елочек», в рукописных текстах – „лапок“. Названия, написанные латиницей, в русских текстах обычно в кавычки не заключаются. Подробнее об употреблении кавычек см. в «Письмовнике».
