Фамилии, оканчивающиеся на -о, не склоняются в современном русском литературном языке. При этом в литературном языке позапрошлого и начала прошлого века такие фамилии могли склоняться по первому склонению: Короленко — Короленки, Короленке, Короленкой. Теперь это не считается нормативным.

При сокращении корректно написание или с пробелом (мед. деятельность), или как сложносокращенного слова — без точки (меддеятельность). Пробелы иногда не ставят, чтобы части сокращения не могли оказаться на разных строчках. Эта проблема решается использованием непечатного символа «неразрывный пробел». 

Проверка словом желчь возможна, так как оно образовалось под влиянием слова желтый. Другое проверочное слово — желть — методисты могли счесть менее удачным из-за ограниченной сферы его употребления в значении 'краска' и разговорной стилистической окраски в значении 'желтый оттенок'. 

Выражение могло возникнуть на базе фольклорных песен. По образности это экспрессивное преуменьшение, основанное на невозможности кошачьего «плача». Коты не проливают слез, да еще в таком количестве, которое можно было бы измерить, отсюда значение фразеологизма: 'очень мало, крайне недостаточно'.

Первый вариант неверен: здесь нет существительного в форме родительного падежа, к которому могло бы относиться стоящее в форме родительного падежа слово посвященного.  Правильно: фестивалю... посвященному... Слово посвященному стоит в той же падежной форме, что и слово фестивалю, к которому оно относится.

Судя по приведенному фрагменту предложения, сочетание по поводу оплаты долга является несогласованным определением к существительному обращение (обращение какое? по поводу оплаты долга) и не требует обособления. Впрочем, если бы предложение было приведено полностью, могло бы оказаться, что дело обстоит иначе.

У Ивана Алексеевича Бунина так:

Вот капля, как шляпка гвоздя,
Упала – и, сотнями игол
Затоны прудов бороздя,
Сверкающий ливень запрыгал –
И сад зашумел от дождя.

В принципе, на месте обоих тире могли бы быть поставлены запятые (но автор предпочел тире как более сильный знак).

Благодарствовать (устар. и прост.) – то же, что благодарить. Формы благодарствую, благодарствуем могли употребляться и с винительным, и с дательным падежом: Благодарствую тебя за сынка и за себя П. Ершов, Конек-Горбунок. Я получил твое письмо, за которое благодарствую тебе. С. Есенин, Письмо Г. Панфилову.