Это вопрос достаточно сложный. Выражения типа наука финансовое право, наука лингвистика и т. п. представляют собой сочетание с приложением, в котором первое слово является по значению более широким и общим, а второе - более узким и конкретным. В справочных пособиях в разделах, посвященных употреблению кавычек, такие случаи вообще не рассматриваются (достаточно подробно описывается лишь употребление кавычек в сочетаниях с собственным наименованием: журнал «Огонек», кинотеатр «Юность»). В разделах, посвященных обособлению приложений, речь идет только о дефисном / раздельном их написании.
На наш взгляд, в словосочетаниях наука лингвистика, наука филология и т. п. кавычкам не место. Сложнее с сочетаниями, в которых приложениями являются неоднословные названия дисциплин, не являющихся наукой в привычном понимании этого слова. Безусловно, вариант наука управления персоналом лучше, но при употреблении в именительном падеже в ряде случаев кавычки могут быть уместны.

Эта женская фамилия не склоняется, мужская склоняется: Скибаря, Скибарю, Скибаря, Скибарем, о Скибаре.

Предпочтительно: Часть первая -- о правилах и традициях, формальных и неформальных.

Окончание зависит от того, к какому слову относится раскрытие. Если имеется в виду включал в себя изучение и раскрытие, то верно окончание е и ставить запятую после отчетности. Если имеется в виду на основе тестирования, доказательств и раскрытия, то следует писать окончание я и ставить запятую после отчетности. Если имеется в виду подтверждающих показатели и раскрытие, то следует писать окончание е. В любом случае перед на основе тестирования запятая не нужна.

Верно с маленькой буквы.

Общее правило таково: условные наименования фирм, организаций, предприятий и т. п. заключаются в кавычки. Случаи, когда название организации совпадает с именем собственным или нарицательным существительным, исключениями не являются. Правильно: компания «Россия», фирма «Витязь», ООО «Металлург» и т. п.
Теперь о родовых словах. Слова ООО, ЗАО и т. п. являются точно такими же родовыми словами, как компания, фирма и т. п., поэтому постановка кавычек от этого не зависит. Правильно: ООО «Бревитор», компания «Бревитор» и (без родового слова) «Бревитор».
Без кавычек пишутся только некоторые названия организаций, представляющие собой сложносокращенные слова и аббревиатуры (при этом наличие родового слова в ряде случаев влияет на постановку кавычек, в ряде случаев - не влияет). Без кавычек часто пишутся и названия фирм, написанные латиницей.
Правильно: Нью-Йоркский, Санкт-Петербургский (как первое слово в официальном названии организации).

Если имеется в виду, что колбасу жарили по-домашнему, то запятая нужна. Если речь идет о жареной колбасе по-домашнему, то запятая не требуется.

Верно: и. о. председателя банка.

Имя Садко склоняется в былинах и в конферансе, сопровождающем оперу «Садко»; в современном языке не склоняется.

Кавычки не требуются.