Этимологически за- является приставкой. В. М. Иллич-Свитыч сближал затеять и таить и определял этимологическое значение глагола затеять как ‘задумать в тайне’.

Правило, по которому не нужно ставить знаки препинания на вывесках (но при этом нужно ставить в официальном наименовании!), нам неизвестно. Запятые на вывесках (а также на обложках книг, лозунгах, транспарантах, в объявлениях, рекламе и т. п.) нужны.

Корректно: с изображением оленя и двух собак.

В речи этого кинолога такое слово существует, в литературном языке - нет.

Наименование собаки корги может определяться как существительное мужского или женского рода в зависимости от пола конкретного представителя породы; ср.: моя корги, мой корги.

Возможны оба варианта.

Глаголы ждать и ожидать могут управлять и родительным (кого-чего), и винительным (кого-что) падежом. Родительный падеж (ожидать чего, ждать чего) употребляется при сочетании с отвлеченными существительными или конкретными, но употребленными с оттенком неопределенности: ждать возможности, ждать писем, ожидать прихода гостей, ожидать известий, ждать поезда (какого-либо). Винительный падеж (ожидать что, ждать что) нужен при сочетании с одушевленными существительными или неодушевленными, но употребленными с оттенком определенности: ждать сестру, ожидать поезд № 10.

Форма слова задачи в этих случаях не зависит от числительного. Она зависит от того, идет речь о примерах одной задачи или нескольких.

Корректны первые два варианта (с тире).

Ваши сомнения оправданны. На первый взгляд может показаться, что недочитать и не дочитать означают одно и то же и достаточно одного раздельного написания. Однако есть контексты, которые подтверждают правильность фиксации в словаре слова недочитать, позволяют почувствовать специфические оттенки значения, отличающие недочитать от не дочитать. 

Если не прочитать это произведение, многое в поэзии Дорожкиной можно недочитать, недочувствовать, недопонять, а самого автора недолюбить.

И эту жизнь надо прожить достойно, потому что обещали тем, кто недомечтал, недочитал, недоучил, не дожил.

Возможно, потому, что им самим в детстве недочитали сказок родители.

Поэтому лучше перечитать, чем недочитать.

В этих предложениях нет значения прерванного, не доведенного до конца процесса чтения (ср. с не дожить из примера выше), здесь недочитать имеет значение 'читать мало, недостаточно' и раздельное написание невозможно.