Рекомендации справочных пособий относительно склонения имени Айгуль разнятся. Так, в в исследовании Л. П. Калакуцкой «Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение» указано, что женские личные имена, оканчивающиеся на согласную (твердую или мягкую, в том числе и на й), не склоняются. В основном такие имена являются иноязычными, хотя этому правилу подчиняется и русское имя Нинель (образовано путем обратного прочтения слова Ленин). Склоняется по третьему склонению лишь женское имя Любовь, а также женские личные имена библейского происхождения Агарь, Рахиль, Руфь, Суламифь, Эсфирь, Юдифь; по типу склонения к ним примыкает и женское имя Рашель. По традиции склоняется по третьему склонению и имя героини балета Адана «Жизель»: партия Жизели.

В то же время в «Словаре русских личных имен» А. В. Суперанской приведена рекомендация склонять имена Айгуль (Айгюль), Нинель и под.: Айгуль, Айгули, Айгули, Айгуль, Айгулью, об Айгули. По-видимому, окончательное решение о склонении / несклонении имени Айгуль следует оставить за носителем имени.

Если эти слова не являются названием мероприятия, то прописные буквы не нужны, например: Нам в детсаду вообще рассказывали очень много важных вещей: о втором съезде РКП (б), о взятии Зимнего дворца, о коварных происках троцкистско-бухаринской оппозиции, и только наша воспитательница тетя Паня читала нам какие-то истории про зайчат, поросят и волков (В. Войнович).

Порядковые числительные и следующие за ними слова конгресс, съезд и подобные могут входить в состав названия. В этом случае по общему правилу с прописной буквы нужно писать первое слово названия и все входящие в него имена собственные. Если числительное написать словом, то его первая буква должна быть прописной, а последующего существительного – строчной, например: Второй конгресс славистов. Писать ли слова конгресс и подобные с прописной, если числительное записано цифрой, – в правилах не оговаривается. В практике письма встречаются оба варианта. Написание типа II Конгресс славистов соответствует модели с прилагательными типа международный, всероссийский (I Международный конкурс им. П. И. Чайковского).

При написании названий сайтов действуют общие правила: названия пишутся с прописной буквы и заключаются в кавычки:  порталы «Яндекс», «Рамблер», «Культура письменной речи»; социальные сети «Фейсбук», «ВКонтакте» (официальное название этого ресурса именно такое, хотя оно противоречит нормам русского письма; должно быть: «В контакте», ср.: журнал «За рулем», не «ЗаРулем»).

Компонент после точки (если он присутствует в названии) пишется строчными: «Грамота.ру» (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).

Полагаем, что в бытовом употреблении (при передаче на письме разговорной речи) допустимо написание строчными без кавычек: пост в фейсбуке, проверить слово на грамоте, рекламная ссылка из гугла, фото в инстаграме (здесь возможна аналогия с пунктами правил, описывающими бытовое употребление названий торговых марок, изделий и товаров).

Веб-адреса сайтов (написанные как латиницей, так и кириллицей) пишутся строчными: www.gramota.ru; президент.рф.

См. также: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=internet

1. Да, такое правило существует, оно подробно описано в "Русской грамматике" (М., 1980). Если кратко, то форма на -У для ряда слов второго склонения соответствует "местному" значению предложного падежа (где - в лесу, в порту, на дому).

2. Это винительный падеж. Цитируем "Русскую грамматику":

Во мн. ч. последовательно выражается принадлежность слов к лексико-грамматическому разряду существительных одушевленных или неодушевленных (см. § 1129). Исключение составляют формы вин. п. одушевленных существительных муж. и жен. р., совпадающие с формой им., а не род. п. мн. ч., в таких сочетаниях, как 1) выбрать в депутаты, поступить в машинистки, пойти в летчики; 2) играть в казаки-разбойники, в дочки-матери, в кошки-мышки.

Примечание. В том случае, если слово, называющее лицо, во мн. ч. не употребляется как название игры, то в сочетании с глаголом играть употребляется форма вин. п., совпадающая с формой род. п., например: играть в казаки-разбойники, но играть в чапаевцев, в космонавтов.

От имен, оканчивающихся на -й, отчества образуются посредством присоединения суффиксов -евич, -евна; конечный й опускается: Николай – Николаевич, Николаевна, Сергей – Сергеевич, Сергеевна, Тимофей – Тимофеевич, Тимофеевна, Дмитрий – Дмитриевич, Дмитриевна. При этом у значительной группы имен, оканчивающихся на -ий, при образовании отчества -ий заменяется на ь, однако образование таких отчеств у носителей языка обычно не вызывает затруднений: Юрий – Юрьевич, Юрьевна, Евгений – Евгеньевич, Евгеньевна. От многих имен на -ий образуются двоякие формы: Геннадий – Геннадиевич и Геннадьевич, Мефодий – Мефодиевич и Мефодьевич – в таких случаях орфографически верны оба варианта, но в документах одного человека написание должно быть единообразным.

Если же имя кончается на -ия, -ея, действуют такие правила. Если ударение не падает на конечный я, то при образовании отчества эта безударная гласная опускается: Исаия – Исаиевич, Исаиевна; Осия – Осиевич, Осиевна. Если же ударение падает на конечный я, то при образовании отчества эта гласная сохраняется: Зия – Зияевич, Зияевна. Мягкого знака в таких отчествах нет; исключение: Илия – Ильич, Ильинична.

Слитное или раздельное написание этих слов зависит от значения. При слитном написании также имеет значение ‘еще’ или ‘тоже’, например: это необходимо также и мне; она также примет участие в круглом столе. Раздельное написание — так же — имеет значение ‘в той же степени’, ‘таким же образом’, например: мне это необходимо так же, как и вам; ему так же весело, как и тебе; прочитай инструкцию и сделай так же.

Аналогичным образом различаются написания тоже и то же. При слитном написании тоже имеет значение ‘равным образом, в равной мере, также’, например: он устал, я тоже; она тоже примет участие в круглом столе. Раздельное написание — ​​​​​​​то же — имеет значение ‘то же самое’, ‘такое же’, например: она сегодня надела то же платье, что и вчера.

Упражнение на закрепление этого правила можно найти в ​​​​​​​«Учебнике Грамоты».

У памятного Вам правила есть несколько примечаний:

После ж, ш, ч, щ, ц пишутся буквы а, у (и не пишутся я, ю),

напр.: жаль, Жанна, межа; шар, лапша; час, свеча, молчащий; площадка, плаща; цапля, отца; жуткий, скажу; шум, Шура, большущий; чувство, молчу; щука, прощу; цугом, отцу.

Заимствование амбушюр входит в число исключений, упомянутых в Примечании 1. 

Существует сложившаяся грамматическая традиция рассматривать отрезок -фикация как вторую часть сложных слов (см. например «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С.А.Кузнецова: https://gramota.ru/poisk?query=фикация&mode=slovari&dicts[]=42 ), а -и- — как соединительную гласную (см., например, «Правила русской орфографии и пунктуации» В. В. Лопатина, § 66: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/bezudarnye-soedinitelnye-glasnye).

Отрезок -фик- является заимствованным связанным корнем, который не употребляется без суффиксов, встречается только в сложных словах, является вторым компонентом этих слов. Слово образовано от глагола электрифицировать с помощью суффикса -аци[j]- с чередованием в корне к // ц, ср.: газифиц-ирова-ть→ газифик-аци[j-а]. В процессе словообразования происходит усечение суффикса производящей основы -ирова-. В словаре А. Н. Тихонова слова со связанными корнями рассматриваются как непроизводные с точки зрения синхронических процессов в языке, поэтому анализ структуры некоторых слов расходится с другими источниками.

Рекомендации по употреблению слов до н. э. и н. э. можно найти в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой. Они таковы:

«Если факт относится ко времени до исход ного (начального) момента принятого у нас летосчисления, рядом с датой требуется ставить слова до н. э. (до нашей эры). Во избежание путаницы рекомендуется даты первых лет (веков) нашей эры сопровождать словами н. э. (нашей эры). Напр.: 26 февр. 747 г. до н. э.; 29 авг. 284 г. н. э.; III в. до н. э.; II в. н. э.».

Как мы видим, это именно рекомендация, причем несколько расплывчатая: «даты первых лет (веков)». Видимо, окончательное решение остается за автором текста. Полагаем, что как минимум в первых двух приведенных Вами примерах слова н. э. будут уместны: Он родился в 10 г. н. э. Прожив долгую жизнь, он умер в 88 г. н. э.

Вы привели отличный пример того, что вводное слово не определяется только по критерию «слово можно убрать из предложения без существенной потери смысла». Этот критерий работает не всегда: с одной стороны, из предложения могут быть убраны без существенной потери смысла некоторые обстоятельства, но это не повод считать их вводными словами (вводными сочетаниями); с другой стороны, некоторые вводные слова и сочетания в значительной степени формируют смысл предложения, так что убрать их затруднительно. Специфика вводных слов состоит в их семантике: они вносят в предложение субъективные значения, исходящие от автора или (реже) от другого лица. Так, слово возможно указывает на степень достоверности сообщения, факта; с его помощью автор сигнализирует, что высказывает предположение, а не утверждает что-либо уверенно. Это одно из типичных значений вводных слов и сочетаний. Список таких значений приведен в справочниках, например в примечании к параграфу 91 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.