Конечно, такие сочетания небезупречны стилистически. И все же ошибки здесь нет.

Частица не писалась бы в независимом восклицательном предложении: Куда только Катя не обращалась за помощью! (то есть буквальный смысл: да есть ли такие места, куда Катя не обращалась за помощью?). Но в приведенном Вами предложении надо писать частицу ни: Куда только Катя ни обращалась за помощью, нигде не могли ей помочь. Отрицанию не в этом предложении не место: она же обращалась за помощью.

Для использования прописной буквы нет оснований.

Корректно: ошибка закралась (во что — В. п.) в заявление; ошибка обнаружена (в чем — П. п.) в заявлении.

Правильно: векторы. В «Проверке слова» не говорится о правильности варианта вектора в именительном падеже мн. числа.

В словарной статье «вектор, -а» сочетание «-а» указывает на то, как слово будет выглядеть в родительном падеже ед. числа (нет вектора). Это важно, т. к. по родительному падежу можно построить всю падежную парадигму (то есть узнать, каким будет слово в других падежах). Если слово имеет окончание -а (-я) в именительном падеже мн. числа, это оговаривается в словаре, например: «директор, -а, мн. -а, -ов».

На постановку запятой во фразе "Больше, чем просто планшет". влияет первая часть слогана: Лучше, чем просто компактный. Фраза представляет собой свернутое высказывание со сравнением: "(Этот планшет) лучше, чем просто компактный (планшет). Поэтому продолжение фразы в таком контексте читается как "(Этот планшет может) больше, чем просто компактный планшет". Но в целом - это лингвистические тонкости. Суть же в том, что постановка запятых в этом слогане не ошибочна, а оправданна контекстно.

Вопрос не имеет однозначного ответа. Начнем с того, что  непроизводные служебные слова тоже непросто описать на морфемном уровне, так как они по определению лишены лексического значения. С этим тезисом можно поспорить, но все же это классика теории частей речи. У производных служебных частей речи вопрос о наличии значения кажется еще более актуальным. Вроде бы о морфемном членении рассуждать можно, но невозможно рассудить, каков статус той или иной морфемы. 

При обратном порядке слов при подлежащем — количественно-именном сочетании предпочтительна форма единственного числа сказуемого: С неба посыпалось пять-шесть мандаринов.

Заметим, что применительно к таким крупным (не сыпучим) объектам, как мандарины, глагол сыпаться (посыпаться) будет уместен, если мандаринов было много (сравним одно из значений этого глагола — «обрушиваться во множестве»), а пять-шесть — это едва ли много, поэтому лучше использовать другой глагол: С неба упало пять-шесть мандаринов.