Как свидетельствуют корпусные данные, такое «парцеллированное но» распространено не только в сетевом общении, но и в художественных и публицистических текстах, где — совершенно очевидно — этот стилистический приём вполне нормален. Он придает тексту выразительность, а также помогает сделать акцент на определенной части высказывания. 

Это задание (если оно сформулировано именно так) некорректно и невыполнимо. Можно привести одно однокоренное слово – берложный. Возможно, авторы задания ожидают увидеть в качестве ответа слова логово и пр., но берлога и логово в современном русском языке не являются однокоренными словами (да и родство их небесспорно).

Вы привели два графических варианта одного и того же имени собственного (наименования города). Различие вариантов заключается в гласных буквах е и ё, взаимозаменяемость которых предопределена факультативным употреблением буквы ё (о чем сообщается в «Правилах русской орфографии и пунктуации», изданных еще в 1956 году).

Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, клиент – 1) лицо или учреждение, пользующиеся услугами адвоката, нотариуса, банка и т. п. (Клиенты сберкассы); 2) постоянный покупатель, заказчик, посетитель (Клиент всегда прав).

1. Правильно: Центральный банк Российской Федерации.

2. Пишется так, как зафиксировано в официальных документах банка, например: ОАО «УралСиб» и т. д.

3. При замене официального названия сокращенное наименование обычно пишут с прописной: (далее Банк).

Вы имеете в виду государственный регистрационный знак автомобиля? В разговорной, неофициальной речи его иногда называют госзнаком, хотя словари литературного языка такое слово пока не фиксируют. Гознак – это сокращенное название Главного управления производством государственных знаков, монет и орденов. 

Возможно, Ваш коллега использует обращение господа в ироническом ключе.

Действительно, это обращение не всегда уместно даже в деловой речи, только в особенно официальных случаях. А в примерах, которые Вы привели, не полностью соблюдается и стилистика деловой речи: обращение господа контрастирует с разговорными оборотами (например: ...какие-то непонятные задачи просроченные стоят).

Предпочтительным (с учетом смысловых особенностей высказывания) представляется такой вариант: Одной из первых посетительниц нового адаптивного пляжа стала российская спортсменка, призер летних Паралимпийских игр – 2020. Если по каким-либо причинам (например, стилистическим) важно сохранить типовую грамматическую формулу, то следует принять во внимание мужской род существительного посетитель: Одним из первых посетителей...