Знак препинания зависит от смысла. Тире нужно поставить, если первая часть указывает на время (Когда испуганный ребенок осторожно высунул лицо из-под одеяла, монстра как не бывало). Двоеточие соответствует другой интерпретации смысловых отношений между частями: Испуганный ребенок осторожно высунул лицо из-под одеяла и увидел: монстра как не бывало.

Пунктуация зависит от строения предложения. Предложение может быть простым с вводным словом казалось - тогда перед казалось нужна запятая.

Предложение может быть сложноподчиненным с первой частью И казалось - тогда запятая ставится только между частями предложения (как в указанном примере), а слово казалось выступает в роли сказуемого.

Этот вопрос спорный. Запятую ставят, обосновывая ее влиянием европейской эпистолярной традиции или рассматривая этикетную формулу как сложное предложение с неполными частями, например такое: Пишу с уважением к Вам, я Иванов Иван. 

Однако есть и иная интерпретация, которой соответствует отсутствие запятой: С уважением к Вам пишет Иванов Иван.

Нет, это не новое правило. Несмотря на то что – составной подчинительный союз. Он может целиком входить в придаточную часть (и не разделяться запятой), но может и расчленяться, в этом случае запятая обычно ставится и перед союзом, и между его частями. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».

Между частями оборота ешь / пей / бери... не хочу  может ставиться тире, но чаще оно стоит перед оборотом, а не внутри его. Например: Звери, забыв вековечные страхи, // С твердою верой, что все по плечу, // Шкуры рванув на груди как рубахи, // Падают навзничь – бери не хочу! (В. Высоцкий, Заповедник).

Предложения здесь день и там ночь относятся к эллиптическим (самостоятельно употребляемым предложениям с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен. Приведенное сложное предложение, между частями которого действительно наблюдается синтаксический параллелизм, наиболее естественно читается с паузой во второй части.

Между частями бессоюзного сложного предложения, в котором вторая часть поясняет первую (в частности, слово больше в первой части), ставится двоеточие: Я тебе больше скажу: он врал тебе на протяжении всей поездки. Вместо двоеточия допустимо тире: Я тебе больше скажу — он врал тебе на протяжении всей поездки. 

Двумя запятыми выделен деепричастный оборот (вторая из них к тому же поставлена перед союзом но между частями сложносочиненного предложения); запятая разделяет однородные сказуемые не просил и чернел, соединенные бессоюзной связью; запятая поставлена между однородными определениями сером и блестящем посередине от масла (первое из них одиночное, второе распространенное).

В предложении Книга была длинная, но интересная одно сказуемое со связкой была и однородными именными частями. Предложения Подпустить врага и огонь дать по команде! и Встань и иди сложные: в каждом из них две грамматические основы. В первом случае это односоставные инфинитивные, во втором — односоставные определенно-личные предложения.

Запятая не нужна: Слушай что нравится! Это конструкция, эквивалентная сложноподчиненному предложению с отсутствующим соотносительным словом. При отсутствии интонационного отделения запятая внутри них не ставится (см. пункт 6 раздела 21 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Сравним: Слушай то, что нравится! — сложноподчиненное предложение, между частями которого ставится запятая.