Нет, не нужно. Если прямая речь следует после авторских слов, то вопросительный и восклицательный знаки, а также многоточие ставятся перед закрывающими кавычками, а точка — после них. Например: Наконец я ей сказал: «Хочешь, пойдём прогуляться на вал?» (Л.); Лёжа на тюке и плана, он дёргал руками и ногами и шептал:  «Мама! Мама!» (Ч.); Закричали:  «Двоих… Санитары… Гляди, гляди — ещё летит… Лезь под вагоны…» (А.Т.); Хозяйка очень часто обращалась к Чичикову со словами: «Вы очень мало взяли». (Г.).

Слово вручение может употребляться во мн. числе, если нужно подчеркнуть значение множественности действий, например: А теленовости состоят из отъездов-приездов, заседаний, вручений и аплодисментов [И. А. Дедков. Дневник (1978)]; Почему, к примеру, невероятно помпезные мероприятия, проходившие по всей Америке по поводу 911 (сопровождавшиеся, кстати, массой торжественных вручений «кому попало» десятков тонн мелкой меди в форме «знаков и символов») ни у кого не вызывает приступов злопыхательства? [К. Крылов. Память (2003) // «Спецназ России», 15.03.2003].

В Вашем примере, полагаем, в этом нет необходимости: речь идет об одном мероприятии, где будут вручаться награды. 

Название страны нужно выделять запятыми как уточняющий член предложения. Д. Э. Розенталь в «Справочнике по пунктуации» писал: 

«Обычно уточняющий член предложения ограничивает объём понятия, выраженного уточняемым членом предложения: Внизу, под железной сетью воздушной дороги, в пыли и грязи мостовых, безмолвно возятся дети (М. Г.) — уточняющие члены расположены по нисходящей градации, т. е. последующий уточняет значение предыдущего. Но бывают случаи, когда уточняющий член по выражаемому им понятию шире, чем уточняемый: Я лежал на кровати, в незнакомой горнице, и чувствовал большую слабость (П.); Я слышал эти рассказы под Аккерманом, в Бессарабии, на морском берегу (М. Г.)».

Приведенная Вами фраза некорректна, хотя союзное слово который может быть отделено от слова, к которому относится придаточное предложение. Придаточное может примыкать к слову с определением в постпозиции, например: Левинсон обвел молчаливым, влажным еще взглядом это просторное небо и землю, сулившую хлеб и отдых, этих далеких людей на току, которых он должен будет сделать вскоре такими же своими, близкими людьми, какими были те восемнадцать, что молча ехали следом. Второстепенный член предложения может стоять в начале придаточной части: Валерия – так звали девушку, от тоски по которой я сбежал из деревни в Москву. 

Запрета на сочетание глагола применять с существительным требование нет. Исходить нужно из того, какие значения имеет глагол применять/применить в современном русском языке. См.: ПРИМЕНЯТЬ, несов. (сов. применить), что. Использовать, потреблять (потребить) опыт, знания, какие-л. средства, прилагая, приспосабливая их для чего-л., с целью достижения каких-л. результатов, успеха и т.п. [impf. to apply (to), employ, use, put into use or operation; to exert, apply, use (strength, skill, etc.) to gain a desired result]. Этот клей применяют для склеивания изделий из дерева, ткани, кожи и бумаги. Теперь он мог применить свои знания на практике.

Предлагаем оформить цитируемый диалог курсивом с разделением на абзацы. 

    Прослушайте отрывок и приступайте к выполнению следующего задания.
    – Ну вот! – воскликнула Вилька.
    – Опять! До чего же не люблю я такие находки!
    Вздохнув, она подняла с тропинки связку ключей. Один из них, самый большой, выглядел неуклюжим брелком для остальных… …Петич ... указал на замочную скважину под резной ручкой.
   – Видите? Дай-ка сюда ключ, – протянул он руку к Вильке. Как в свое родное гнездышко, ключ вошел в отверстие. Петич повернул его. Один раз, другой…
    – Ага, попались! – раздался над ними такой резкий крик, что друзья от неожиданности присели.

Здесь нет ошибки: в русском языке довольно свободный порядок слов, и части составных союзов вполне могут разделяться несколькими словами, например: Я только тогда бываю спокоен, когда она сидит у меня на коленях и я пою ей: «Ой за гаем, гаем!» (Л. Вертинская). Мы потому так подробно остановились на этой ситуации с проблемой четырех красок, что, знай о ней Витгенштейн, она привлекла бы его внимание (В. Успенский).

Оборот тогда и только тогда — специфическая формулировка, которая используется чаще всего в математике, логике и философии и часто выносится в начало предложения.

В Вашем предложении запятые лучше поставить. Логика постановки знаков такая. Оборот с союзом как имеет значение приравнивания, отождествления и характеризует предмет с какой-то одной стороны. Такие обороты рекомендуется не обособлять, но в примерах, иллюстрирующих это правило, оборот тесно связан со сказуемым, ср.: …Ты любил меня как собственность, как источник радостей, тревог и печалей (Лермонтов). В Вашем предложении оборот не связан со сказуемым, он относится к дополнению репутации и играет роль определения. Факторами, создающими условия для обособления определения в постпозиции, являются определение в препозиции и пояснительно-уточняющий характер определения (позитивной — как надёжный партнер и ведущий реселлер).

Глагол склонить совершенно неуместен при серьезном обсуждении склонения именных частей речи. Предполагаем, что в вопросах он может появляться случайно, по невнимательности авторов. Не исключаем и того, что его могут использовать в игровом ключе, как намеренное отступление от употребления хорошо известных терминов склонять и склоняться. Если остаются сомнения в терминологической корректности чьих-либо высказываний, то, безусловно, стоит обратиться за уточнениями к словарям русского языка. В них дается лингвистическое значение слов склонять и склоняться, в чем можно убедиться, если прочитать статьи и в «Большом толковом словаре русского языка» (гл. ред. С. А. Кузнецов) на нашем портале. 

Примеры в справочниках показывают, что в Вашем случае нужно поставить тире. Д. Э. Розенталь пишет: «И только когда он шептал: "Мама! Мама!" — ему становилось как будто легче (Ч.) — тире после восклицательного знака, которым заканчивается прямая речь». В этом предложении прямая речь находится в конце придаточной части, после нее должна ставиться запятая, но рекомендуется ставить тире, так как прямая речь завершается восклицательным знаком. Подобный пример находим и в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина: Петр Михайлыч хотел сказать: «Не впутывайся ты, пожалуйста, не в свои дела!» — но промолчал (Ч.).