Литературная норма: (жить) на Ямайке, в государстве Ямайка. Кодификации варианта "в Ямайке" нам обнаружить не удалось (что, правда, не делает приведенный Вами вариант предложного управления ошибочным, ненормативным).
Корректно написание в кавычках, с прописной буквы. Заверить можно подписью и печатью, но не надписью.
Корректно: некто прозванием Бродяга.
Можно использовать и полную, и краткую форму, но в разных синтаксических функциях.
Корректно: Брать - так с поличным; Брать, так с поличным.
Все варианты возможны. Обратите внимание, правильно: студенчество.
Эти слова можно считать синонимами.
Фамилия Цомая склоняется. Грузинские фамилии на -ия склоняемы. См. подробнее "Особенности склонения фамилий и личных имен".
Толковым словарем иноязычных слов. На портале "Грамота.Ру" Вы можете воспользоваться "Большим толковым словарем русского языка" С. А. Кузнецова.