«Штука с завитушками» тоже называется подписью. В «Большом академическом словаре русского языка» (Т. 18. М., СПб., 2011) слову подпись дано более подробное толкование: собственноручно написанная фамилия под чем-либо (текстом, рисунком и т. п.) в подтверждение своего авторства или согласия с чем-либо; какой-либо псевдоним, знак, которым подписывают что-либо. Среди иллюстраций к толкованию есть такое предложение: Подпись, как говорят криминалисты, содержит в себе мало графического материала. Иногда это несколько закорючек, росчерков, мало напоминающих буквы (Р. Белкин).

В этом случае слово надеюсь вводное (с модальным значением «предположение, неуверенность»). Если части сложносочиненного предложения имеют общее вводное слово, запятая между ними не ставится (см. пункт 4 параграфа 30.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). После присоединительного союза (в начале самостоятельного предложения) запятая обычно не ставится, так как союз тесно примыкает к следующему за ним вводному слову: И надеюсь, я записала их все и это достоверная информация на все сто.

Словари морфем нужны в первую очередь для проверки собственного решения, самостоятельного разбора слова по составу (которое, конечно, должно основываться на некоторых теоретических положениях). Если собственное решение находит подтверждение хотя бы в одном из названных словарей, то можно сказать, что оно имеет право называться верным. Нам лично приведенные решения из первого словаря (Панов, Текучев) кажутся наиболее логичными и разумными.

Корректно: И не мешкая отправляйте рисунок на конкурс. Деепричастие не выделяется запятыми, так как оно близко по значению к наречию (не мешкая = немедленно, быстро).

Это лексически избыточное сочетание, т. к. глагол выражаться в этом значении толкуется как 'употреблять, произносить бранные, неприличные слова'. Можно сказать: нецензурно выражался.

Вы правы: обращают внимание на что-либо или на кого-либо. Поэтому в сложном предложении типично соединение обращать внимание на то, что. В речи, предполагающей соблюдение норм литературного языка, предпочтительна именно эта версия конструкции, включающая предложную часть на то. Вместе с тем распространенность конструкции, ее частое использование в устной разговорной речи способствовали и ее урезанию, или сокращению. Возможно, так проявила себя языковая закономерность, которую лингвисты называют экономией речевых усилий. Итак, представляется, что вариант конструкции без предложной части на то более всего свойственен разговорной речи. Но не стоит упускать из вида и то, что высказывания могут отличаться коммуникативными и смысловыми особенностями, что влияет и на состав обсуждаемой конструкции. В частности, выражение обратите внимание употребляется как самодостаточный призыв к слушателям. Подведем итоги нашего обсуждения: при выборе и оценке конструкции принимаем во внимание стилистические характеристики текстов, смысловые и коммуникативные особенности предложений и даже, что не всегда напрасно, авторские предпочтения.

Слово мы не обозначает множественности говорящих (мы – это не несколько я), а указывает на группу лиц, среди которых находится и говорящий. Слово мы может также употребляться для указания на одно лицо. К такому употреблению мы вместо я как раз и относятся случаи типа мы с тобой (т. е. 'я и ты'), мы с ней (т. е. 'я и она'), мы с Тамарой (т. е. 'я и Тамара'). Подробнее о значениях местоимения мы см. § 1278 «Русской грамматики».

Тире в этом случае не требуется, так как где и приобрел первые музыкальные познания - это придаточное предложение в составе сложноподчиненного, оно отделяется запятой.

Запятая и тире как единый знак препинания могут ставиться между частями бессоюзного сложного предложения, но в Вашем случае есть союзное слово где, и это правило не подходит. Для постановки сразу двух знаков препинания (запятой и тире) оснований нет.

Подробные рекомендации см. в «Справочнике по пунктуации»: НАКОНЕЦ. В этом справочнике Вы найдете и рекомендации по пунктуационному оформлению других интересующих Вас слов.