Корректно: под эгидой ФИФА и УЕФА. Ср.: под покровительством ФИФА и УЕФА, действовать под эгидой наблюдателей.
1. Вы справедливо отмечаете разнобой в ответах. Некоторая разница в том, что во втором случае используются существительные только в форме мн. ч., что позволяет сделать выбор в пользу падежного согласования. Однако жесткого правила здесь нет.
2. Склонение оправданно, особенно если нужно подчеркнуть значение множественного числа.
"Справка" не выполняет домашних и тестовых заданий.
Употребляется.
Большой толковый словарь
Корректно раздельное написание.
Правильно: танцевать до упаду.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
Выбор предлога зависит от контекста, например: поехать в НПО, жалоба на НПО.
После союза но запятая ставится при наличии паузы и не ставится, если паузы нет. Решение принимает автор текста.