Сочетание как ни в чем не бывало не требует обособления: Выбегая из подъезда, он неосмотрительно повернул в другую сторону, а потом имел неосторожность как ни в чем не бывало пройти мимо патруля.

Слово нуль является существительным и управляет родительным падежом: при нуле градусов. Ср.: с миллионом друзей (существительное миллион требует род. падежа от зависимого существительного), с пятью друзьями (числительное и существительное согласуются в падеже).   

Сочетание не покладая рук фразеологическое и не требует обособления. Впрочем, возможно и установление отношений уточнения между обстоятельствами хорошо и не покладая рук (=без устали, непрерывно) — в таком случае запятая нужна.

Обстоятельственный оборот с предложным сочетанием в случае с не требует обособления: Но в случае с нашим героем это не подарок судьбы, а невероятно долгая и упорная работа над собой и своим телом. 

Это ошибка в управлении при однородных членах предложения. При двух или нескольких управляющих словах (поддержать и помочь) общее зависимое слово допустимо, когда каждое из управляющих слов требует того же падежа и предлога.

Строгая литературная норма требует склонять русские и хорошо освоенные иноязычные названия городов в сочетании со словом город: в городе Байконуре. Отсутствие согласования (в городе Байконур) можно встретить в официально-деловом стиле, в административно-судебной речи.

Фразеологическое сочетание через не могу не требует кавычек. Приведенный фрагмент рекомендуется оформить следующим образом: Вам должно быть интересно и комфортно в процессе. Не стоит получать знания через не могу, только ради конечной цели.

Если имеется в виду Совет Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, то его можно назвать верхней палатой (в значении «высшая законодательная инстанция»). Это сочетание содержится в толковых словарях и не требует кавычек.

Не зря в значении "не напрасно" пишется раздельно. Наречие не требует обособления.

Если имеется в виду деепричастие от глагола зреть — то же, что "не глядя", то оно также пишется раздельно с не, но обособляется.