1. О рисунке кавычек читайте в "Письмовнике" на нашем портале.
2. Корректно: инфраструктура Москвы, Ярославля, Петрозаводска. Допустимо в канцелярской речи: ...города Москвы, города Ярославля и т. д.
Да, в этих предложениях союз и соединяет однородные сказуемые. Сказуемые разных типов могут быть однородными.
Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Ошибок не видим.
Оба варианта названия жителей этого древнего города правильны. Более употребительно – помпейцы.
Строчными: день рождения города.
Лодзь – существительное женского рода. Правильно: в Лодзи.
Да, запятые нужны.
По родам они не изменяются. Но при этом склоняются.
Подробно см.: http://gramota.ru/class/istiny/istiny1toponimy/
Корректно: школа города Шатуры.