Н. С. Валгина в пособии «Современный русский язык: Синтаксис» пишет: В разряде противительных особую группу составляют сложносочиненные предложения с союзами альтернативными: а то, а не то, не то. Такие предложения передают значение особого противопоставления – с оттенком условности... Альтернативные союзы свойственны речи разговорной, они передают значения, близкие значениям слов иначе, в противном случае, которые часто и сопровождают данные союзы или даже самостоятельно используются в качестве связующих элементов сложного предложения.

Во всех приведенных примерах конструкции, присоединяемые союзом КАК, не требуют пунктуационного выделения.

1. Да, в этом значении прилагательное Божественный пишется с большой буквы.

2. Вы правы, корректно без запятой.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Возможна запятая после "века".

Нормативной рекомендации нет. Употребительнее вЕган.

Корректно: Невзгоды прочь, и прочь беда.