Корректно раздельное написание: быстро прогрессирующее заболевание.
Запятая нужна.
Правильно: в течение последнего месяца.
Мы уже отвечали на этот вопрос. См. 262404
Правильно только: переоценённый.
Ударение остается на корне: ро́ды.
Верно: прополосканное.
Такое выражение некорректно в целом.
Это подлежащее.
Как указано в «Справочнике по пунктуации», в сочетании что (,) если обычно ставится запятая, но на практике встречаются примеры оформления этого сочетания без запятой. Поскольку рассматриваемое сочетание представляет собой частицу, к тому же близкую по смыслу частице а ну как, отсутствие запятой в сочетании нельзя считать ошибкой. Постановка запятой в этом сочетании обусловлена, вероятно, тем, что местоимение что содержит в себе «следы» грамматической основы, сравним: Что будет, если?...; Что было бы, если?....
Именно так и надо сказать в образцовой литературной речи: дороги Енакиева. В обиходной разговорной речи можно не склонять: дороги Енакиево.
