Как правило, в подобных случаях используется форма единственного числа.
Правильно: попугай Кеша (ср.: кот Васька, собака Каштанка). Слово попугай не является частью имени.
Домашними (уменьшительными) могут быть абсолютно любые созвучные имена.
По основному правилу между частями сложноподчиненного предложения ставится запятая. При усилении вопросительного характера предложения для подчеркивания необычности расположения придаточной части перед главной вместо запятой может ставиться тире (как в приведенных случаях).
Все части имени пишутся раздельно, без дефиса? В этом случае уместно склонение: нет Хана Рашида Хамида.
Особенность склонения этой фамилии – окончание -ом в творительном падеже: Джорджем Гершвином (т. к. это иноязычная фамилия). Остальные падежи не вызывают затруднений: Джорджа Гершвина, Джорджу Гершвину, Джорджа Гершвина, о Джордже Гершвине.
Правильно: откликается.
Да, это имя склоняется. Правильно в дательном падеже: Нургалию.
Имя Асель не склоняется. См. вопрос 289801.
В разговорной речи обращение Карин возможно. Это особая звательная форма существительного, ср.: мам, Коль, Петь, Сонь.
