Нет, имя Анатолие не склоняется.
Правильно: информация о продукте.
Правильно: к Крещению.
С этими вопросами обращайтесь в метеослужбу.
Правильно писать глава города строчными.
Корректно: Ответственными за организацию работы по курируемым направлениям.
Запятая не нужна. Сочетание по пути домой является обычным обстоятельством времени, которое не требует обособления.
Слово обещание употребляется в сочетаниях с разными существительными — с предлогами и без предлогов. Возможно и обещание об оплате, и обещание оплаты. Словосочетание обещание по оплате допустимо в устной разговорной речи.
Да, такое написание правильно.
Правило состоит в том, что сложные слова с первой иноязычной (интернациональной) частью, кончающейся на гласную (авто-, агро-, астро-, аудио-, аэро-, баро-, бензо-, био-, вело-, вибро-, видео- и мн. др.), пишутся слитно.
