Сложные существительные, включающие компонент пол-, имеют особенности в склонении, сочетаемости и родовой отнесенности. В форме именительного и винительного падежа они сочетаются с определением в форме множественного числа: пустые полчемодана. При отсутствии определения при подлежащем, выраженном существительным с компонентом пол-, глагольное сказуемое ставится в форму единственного числа и (в прошедшем времени) форму среднего рода: промокнет/промокло полчемодана. В формах косвенных падежей возможны формы с пол- и с полу-, при этом определение имеет форму того рода, которым характеризуется существительное, выступающее вторым компонентом в сложном слове: моего полчемодана и моего получемодана, моему полчемодану и моему получемодану и т. п. Подробнее см. в академической «Русской грамматике» 1980 года (Т. 1. § 1191–1193).

Слово априори употребляется в текстах научного стиля, в основном в сфере гуманитарного знания. Деловым текстам слово априори чуждо. Написание латиницей возможно, кавычки при этом не нужны.

Если константа С ранее не упоминалась в тексте, то необходимо сделать акцент вначале на существовании константы С, а затем на ее характеристиках, а значит, запятая нужна: ...для функции f существует константа C, [причем] такая, что выполняется соотношение... Если константа С ранее в тексте упоминалась, только ее характеристики были другими, то запятая не нужна: ...для функции f существует константа C такая, что выполняется соотношение...

Причастие заведуемый не отвечает норме литературного языка. Страдательные причастия образуются от переходных глаголов, к которым глагол заведовать не относится. Надо, впрочем, отметить, что литературному языку известны отдельные страдательные причастия, образованные от непереходных глаголов, которые управляют косвенным падежом с объектным значением, например: руководимый, управляемый, предводительствуемый (Русская грамматика. Т. 1. М., 1980. С. 668). Но слово заведуемый в это число не входит.

Полагаем, паузы поможет передать многоточие: Алло... Привет... Нормально... Нет, не хочу... Пока.

Знаки препинания расставлены верно, а вот соотношение наклонений глаголов в частях предложения необходимо изменить. Верны варианты: 1) Узнай Зоя, с чего я этим интересуюсь, — вообще ничего не сказала бы; 2) Если Зоя узнает, с чего я этим интересуюсь, — вообще ничего не скажет.

1. Запятые перед тире поставлены верно: первая из них закрывает причастный оборот, вторая — придаточную часть.
2. Рекомендуем вариант: Но тебе... — Она спокойно посмотрела на него. — ...не о чем волноваться...

Сочетание сообщает Франс Пресс может быть грамматически интерпретировано по-разному, в связи с чем корректны варианты:

1. Президент Франции распустил парламент, сообщает Франс Пресс. Сочетание близко к вводному предложению, оно может располагаться в середине предложения, сравним: Президент Франции, сообщает Франс Пресс, распустил парламент.
2. Президент Франции распустил парламент — сообщает Франс Пресс. Сочетание представляет собой часть бессоюзного сложного предложения с присоединительными отношениями.

При включении словоформы об этом возможна только вторая интерпретация: Президент Франции распустил парламент — об этом сообщает Франс Пресс.

Есть несколько способов оформления этой фразы, можно использовать буквенное наращение при порядковом числительном: Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1 дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1-го дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс, 1 дан; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс (1 дан). Римские цифры при обозначении данов использовать не принято.

Верно: в течение 1, 2 и 3 лет.