Не вполне ясно, по каким грамматическим законам построено это название. Поэтому может быть только один ответ на Ваш вопрос: нужно писать это название так, как оно пишется в уставных документах организации (магазина).

Если вопрос о том, каким членом предложения является союз а, то никаким: служебные слова (предлоги, союзы, частицы) не выполняют таких функций. Если вопрос о семантике союза, то он здесь выражает сопоставительные отношения.

Варианты корректные. Как можно предположить, существительные с предлогом заменяют словосочетания типа финальные соревнования, финальный турнир, финальная встреча и т. п. При выборе вариантов стоит принять во внимание то, с каким словосочетанием они соотносятся.  

Возможно так: Каким движением является сгибание позвоночника? Как называют (называется) движение, необходимое для сгибания позвоночника (осуществляемое при сгибании позвоночника)?

Возможна постановка двух тире:  Наши преподаватели - учителя от Бога - рады помогать Вам.

Слово Германия  по происхождению латинское. Germania как территория, заселенная германскими племенами, впервые упоминается Пифеем из Массалии в IV в. до н. э. Позже название Германия использовалось для обозначения римских провинций, затем – Восточно-Франкского государства.

Поздравление написано для нескольких лиц, на это указывает обращение дорогие друзья. Поэтому слова вы и ваш следует писать с маленькой буквы. Последнее предложение следует перестроить: ...которые принесут вам и вашим семьям счастье и процветание.

Корректно: мой труд был ненапрасным (также возможно раздельное написание), личностно ориентированное обучение, ожидать от любимого несвойственных ему поступков; а семья, каким бы ореолом романтики ее ни украшали, это...; по вере вашей да будет вам.

Правильно: Требуется водительское удостоверение водителя, управлявшего автомобилем на момент ДТП. Определительный оборот согласуется с определяемым словом, т. е. ставится в форме того же рода, числа и падежа (водителя какого? – управлявшего, ср.: водителем каким? – управлявшим).

Во-первых, это названия разного порядка: среди перечисленных слов есть и официальные, и полуофициальные, и неофициальные названия государств (тем более непонятно, что скрывается под Вашим "и т. д."). Во-вторых, "широта" публики не является стилистическим критерием.