Это корректное сочетание для разговорной речи, в ситуации непринужденного общения. Но в образцовой литературной речи его, пожалуй, всё-таки лучше избегать.
Корректно: координация работы подразделений.
Деепричастный оборот нужно обособить запятой.
В значении "пользоваться возможностью"? Это корректно для разговорной речи.
Женская фамилия КоролЁва склоняется: нет Королёвой, к Королёвой, с Королёвой, о Королёвой. Если же фамилия в им. п. (мужская и женская) звучит как КоролЕва, то такую фамилию нужно склонять как соответствующее нарицательное существительное: к Ивану Королеве, с Иваном Королевой и т. д.
Склоняется и мужская, и женская фамилия.
Если это все предложение, то тире нужно. Если это часть предложения, пунктуация зависит от контекста.
Корректно: выиграть приз в лотерею (=участвуя в лотерее), но призы разыгрываются в лотерее.
