Необходим творительный падеж. О женщине правильно: управляющая фитнес-клубом (в обиходной устной и письменной речи) и управляющий фитнес-клубом (в строгих формах деловой речи, где на первое место выдвигается сообщение о должности, например: приказываю назначить управляющим фитнес-клубом Иванову).
Варианты в фирме и на фирме равноправны.
Существуют оба слова: рОзлив и разлИв. Здесь лучше: разлИв.
См. "Горячую десятку вопросов".
Да, несмотря на общее правило (об отсутствии точки в заголовке), в изданиях для начинающих читать детей точку в заголовке сохраняют, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку.
Запятая не требуется.
Поинтересоваться, разузнать.
Если выбирать из предложенных Вами вариантов, то второй.
Оба способа оформления корректны.
«Русский орфографический словарь» РАН дает оба сокращения как нормативные.
