Лучше бы "фи" написать буквой греческого алфавита, без кавычек.
Со строчной. Заглавная и прописная - это одно и то же.
Корректно: южные Курильские острова, северные Курильские острова (не в знач. собственного географического наименования).
В этом случае уместно написание со строчной.
В этих примерах нужна большая буква: ...Курского направления, Ленинградского направления.
1. Да, аналогично.
2. Верно: Британская империя; империя.
Корректно: VII Областной марафон технического творчества.
Верно написание со строчной. Может быть, оформить так: "Чудо-центр"?
Написание с прописной (большой) буквы – С Уважением – не было нормативным и в советское время. Правильно (и раньше, и сейчас) – со строчной (маленькой) буквы: С уважением.
Корректно: Дельфийские игры.