Предложение следует начинать с прописной буквы: И. о. директора приказывает... Однако начало строки не всегда совпадает с началом предложения.

Стилистической разницы нет. Значения указаны в толковых словарях, пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».

Такое выражение вполне допустимо. Ср.: Где-то неподалёку как бы и в самом деле плакал ребёнок — не младенец, а мальчик-подросток с уже ломающимся голосом, большой ребёнок, у которого случилось какое-то — пока ещё детское — неизбывное горе [Нина Огнева. Калган-гора // «Ковчег», 2015]. 

В этом случае возможно употребление сказуемого в единственном числе. Кавычки нужны.

Фамилия Бала склоняется, если конечный А - не ударный. О происхождении, к сожалению, достоверно сказать не можем.

Рекомендуется придерживаться простого правила: по возможности использовать в качестве однородных сказуемых глаголы одного вида. В вашем примере: спрошу (сов.), пойду.

Инфинитив, обозначающий действие как цель движения (зачем пойду? — покупать), может быть совершенного вида в том случае, если подразумевается однократное мгновенное действие, в осуществимости которого не может быть сомнений (выйду взглянуть на облака). Если же действие не мгновенное и в особенности если у говорящего нет уверенности в том, что ему удастся осуществить это действие (нужного замка может не оказаться в продаже, магазин может закрыться на переучет, придется идти в другой магазин и т. п.), используется несовершенный вид.

Итак, приемлемы следующие варианты:

 — после занятий я спрашиваю у брата, есть ли замок, и иду покупать его;
 — после занятий я спрошу у брата, есть ли замок, и пойду покупать его.

В разговорной речи такие построения допустимы. В академической «Русской грамматике» 1980 года (Т. 2. § 2044) говорится: «Предложение, уже распространенное детерминантом со знач. субъекта действия или состояния, свободно принимает распространитель со знач. субъекта всей ситуации (у кого): С отцом плохо — У него с отцом плохо; У дочки уже есть сын — У нее у дочки уже есть сын; С дочкой беда — У семьи (в семье) с дочкой беда; На всю семью / у всей семьи — один работник — У них на всю семью — один работник. В так распространенных предложениях может осуществляться дальнейшее наращивание распространителей: в разговорной речи фиксируются построения типа У меня у соседки была такая же история; У меня у дочки на работе у директора сегодня юбилей».