Запятая ставится.
Лучше всего: Строительство моста через Волгу в Костроме. Но и при употреблении с родовыми словами эти названия склоняются: через реку Волгу в городе Костроме.
Запятая не ставится.
Если имеется в виду "когда надобность миновала", верно: по миновании.
Да, нужно.
Запятая нужна.
В данном случае необходимо понимать, в какой функции и в каком значении употреблено слово ну. Оно фиксируется в словарях как междометие, выражающее определенные эмоции, и как частица. Междометие требует отделения запятой (часто оно вообще представляет собой отдельное высказывание), частица — не требует. См. параграф 108 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина.
От склоняемости/несклоняемости наименования города написание названия его жителей никак не зависит.
Употребление предлога «на» в данном контексте грешит изрядной разговорностью.
Запятая нужна: Покажи, на что ты способен.