Запятая ставится факультативно.
Живем как на вулкане - без запятой (это фразеологизованное выражение). Живем, как на островах - с запятой.
Запятая ставится.
Возможны варианты. Обстоятельственные обороты «несмотря на + существительное» обычно выделяются знаками препинания (запятыми). Но при тесной связи оборота со сказуемым (если смысл предложения: работы не просто продолжатся, а продолжатся именно вопреки трудностям) запятая не ставится.
Между однородными сказуемыми, соединенными союзом и, запятая не ставится.
Да, тире нужно поставить.
В этом случае придаточная часть усечена до одного союзного слова что и не требует отделения запятой. Сочетание по крайней мере употреблено в предложении в функции вводного: Сделать мужчина ничего не мог — по крайней мере, он ещё не придумал что.
