В этом предложении сочетание то на улице выглядит случайно попавшим сюда фрагментом какого-то другого предложения. Оно нелогично по смыслу (не указано, где еще можно гулять, кроме как на улице) и не грамматично (придаточные части с союзом когда зависят от первой части с грамматической основой я гуляю, поэтому часть с то «повисает в воздухе»). Если рассматривать предложение без этой части, то корректно такое оформление: Я гуляю и когда идёт снег, и когда идёт дождь. Если перед подчинительным союзом стоит сочинительный союз и, то запятая между главной и следующей за ней придаточной частью сложноподчиненного предложения не ставится. См. пункт 2 параграфа 33.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, частица и союз

1. Частица (часто в сочетании с противительными союзами «а», «но», а также в предложениях с союзами «хотя», «несмотря на то что», «пусть» и др.). Не требует постановки знаков препинания. 

Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате.Ю. Семенов, Экспансия-I. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга… он весь тем не менеесостоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.

2. Союз (между частями сложносочиненного предложения). То же, что «но, однако». 

…Это были все-таки карты, несколько захватанные, затертые пальцами по краям, тем не менее невозможно было представить, что в них играли за столом... Ю. Бондарев, Горячий снег.

Сочетание звуков [иэ] на месте букв ие произносится не только в слове коэффициент (и в других словах на -ент, например пациент, ингредиент и др.), но и в словах диез (литературная норма именно д[иэ]з), спаниель, а также (по старшей литературной норме) в словах абитуриент, диета, сиеста.  Если мы откроем «Орфоэпический словарь русского языка» под ред. Р. И. Аванесова (М., 2000 и более ранние издания), мы увидим там рекомендацию произносить абитур[иэ]нт, д[иэ]та, с[иэ]ста. Поэтому написание риелтор при произношении р[иэ]лтор не является каким-то единичным случаем, плохо понятным исключением или прихотью лингвистов; оно соответствует принципам русской орфографии (писать е после букв е и и, даже если произносится э).

1. Правильно: режевчане, режевляне. Об особенностях образования названий жителей написано в справочнике «Русские названия жителей» И. Л. Городецкой и Е. А. Левашова: «При всем ... суффиксальном богатстве русский язык искони опирается прежде всего на суффикс -ец. Однако он не всесилен... Трудности, с которыми суффикс -ец сталкивался там, где он примыкает к производящей основе, исторически заставили его обрасти интерфиксальными прослойками, что привело к появлению множества суффиксов сложного состава: -анец / -янец, -инец / -енец, -ианец, -овец / -евец и др. Старейшим в русском языке суффиксом с «отечественным» значением является также и -анин / -янин. Он тоже вынужден был со временем обрасти своими производными: -чанин, -овчанин / -евчанин и др.»
2. См. в Словаре трудностей.

В предложении Ребята решили собрать/собирать букет из листьев оба варианта равноправны. Разница лишь в том, что при выборе глагола несов. вида (собирать) делается акцент на процессе, а при выборе глагола сов. вида — на результате. Почему учитель решил, что правилен только один вариант, по представленным сведениям понять невозможно. Не исключено, что контекст, по мнению учителя, должен был подталкивать к выбору глагола несов. вида (например, если в предыдущих фразах повествуется о том, как ребята долго и мучительно придумывали, чем бы заняться долгим осенним днем: в таком случае акцент на собирании листьев как занятии, целью которого является сам процесс, кажется оправданным). Однако даже если контекст и подталкивал к выбору глагола несов. вида, использование его пары сов. вида ошибкой не является.

Слова "тем не менее" не используются как вводные.

ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, частица и союз

1. Частица (часто в сочетании с противительными союзами «а», «но», а также в предложениях с союзами «хотя», «несмотря на то что», «пусть» и др.). Не требует постановки знаков препинания. 

Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате. Ю. Семенов, Экспансия-I. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга… он весь тем не менее состоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.

2. Союз (между частями сложносочиненного предложения). То же, что «но, однако». 

…Это были все-таки карты, несколько захватанные, затертые пальцами по краям, тем не менее невозможно было представить, что в них играли за столом... Ю. Бондарев, Горячий снег.

Правилами разрешается не ставить запятую в подобных случаях. Сравним формулировку в параграфе 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина:

«При двукратном повторении союза и (если число однородных членов – два) запятая ставится при наличии обобщающего слова при однородных членах предложения: Всё напоминало об осени: и желтые листья, и туманы по утрам; то же без обобщающего слова, но при наличии зависимых слов при однородных членах: Теперь уж можно было расслышать в отдельности и шум дождя, и шум воды (Булг.). Однако при отсутствии указанных условий при однородных членах предложения, образующих тесное смысловое единство, запятая может не ставиться: Кругом было и светло и зелено (Т.); И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом (П.)».

В нормативных словарях современного русского литературного языка не зафиксированы ни глагол алкализовать, ни глагол алкализировать. При этом в словарях исторических можно найти как один, так и другой. Например, в словаре В. И. Даля (1863) зафиксировано, что алкализировать — химический термин, имеющий значение "пережигать, отгонять огнем от соли кислоту или воду, чтобы оставалась щелочь", а в "Новом словотолкователе" Н. М. Яновского (1803) отмечены глаголы алкализовать и алкализировать — "химики так называют действие, посредством коего чрез обжигание в сильном огне отделяется от тела кислая часть, в оном содержавшаяся, таким образом, что в теле том остается одна только алкалическая часть". 

Таким образом, можно заключить, что норма в использовании редких в употреблении глаголов алкализовать и алкализировать не устоялась окончательно, поэтому какао-порошок можно называть как алкализованным, так и алкализированным. 

Существительное пограничье относится ко 2-му склонению. Оно стоит в форме предл. падежа ед. ч. В этой форме существительные 2-го склонения имеют окончание -е. Ср.: на столе, на копье. Поэтому корректно: на дальнем пограничье.

Однако отметим, что в художественной, особенно поэтической, речи  (обычно при предлоге в) допускается написание форм предл. п. существительных сред. рода на -ье с окончанием -и, напр.: В молчаньи шел один ты с мыслию великой (П.); Подвиг есть и в сраженьи, / Подвиг есть и в борьбе. / Высший подвиг — в терпеньи, / В любви и мольбе (Хом.); И снег соперничал в усердьи/ С сумерничающею смертью (Б. Паст.). Под ударением окончание предл. п. -и отмечается только у одного слова на -ье: забытьё — в забытьи́. См. Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.

Официально по-прежнему действуют «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года. Но многие рекомендации, сформулированные в этом своде, сейчас явно устарели и противоречат современной письменной норме. В том числе это касается и написания наименований, связанных с религией. Ясно, что предписания, сформулированные в отношении этих слов в 1956 году, были не свободны от идеологических установок, снятых в последние два десятилетия.

Современные нормы таковы. С прописной буквы пишется перове слово и собственные имена в названиях религиозных праздников: Пасха Христова, Рождество, Прощеное воскресенье; Курбан-Байрам, Рамазан, Навруз, Ханука, Шаббат и др. С прописной буквы пишутся и народные названия некоторых дней и периодов, связанных с церковным календарем: Масленица, Святки, Яблочный Спас и др.

Рекомендуем Вам пользоваться следующим справочником: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К Прописная или строчная? Орфографический словарь. М.: Эксмо, 2007.